Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới...

Đặt $g\left( x \right)=f\left( f\left( x \right)-2m+1 \right)\Rightarrow g\!\!'\!\!\left( x \right)=f\!\!'\!\!\left( x \right)f\!\!'\!\!\left( f\left( x \right)-2m+1 \right)$.
$g\!\!'\!\!\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-1 \\
x=2 \\
f\!\!'\!\!\left( f\left( x \right)-2m+1 \right)=0 \\
\end{array} \right.$
Xét phương trình $f\!\!'\!\!\left( f\left( x \right)-2m+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
f\left( x \right)-2m+1=-1 \\
f\left( x \right)-2m+1=2 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
f\left( x \right)+2=2m \\
f\left( x \right)-1=2m \\
\end{array} \right.$.
Ta áp dụng kĩ năng hợp hàm, tức là xét tương giao của đường thẳng $y=2m$ và hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)+2;~y=f\left( x \right)-1$

Để hàm số $g\left( x \right)=f\left( f\left( x \right)-2m+1 \right)$ có 4 điểm cực trị thì đường thẳng $y=2m$ phải cắt đồ thị 2 hàm số trên tại hai điểm phân biệt (không kể tiếp xúc)
Dựa vào đồ thị ta thấy điều kiện là $\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
2m\ge 7 \\
2m\le -4 \\
\end{array} \right.\overset{m\in \left[ -2021;2012 \right]}{\mathop{\to }} \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
4\le m\le 2012 \\
-2021\le m\le -2 \\
\end{array} \right.\Rightarrow $ c ó 4029 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu.