Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới...

Ta có ${y}'=\left( -\sin x+2 \right).{f}'\left( \cos x+2x+m \right)$
Hàm số $y=f\left( \cos x+2x+m \right)$ liên tục trên nửa khoảng $\left[ 0; +\infty \right)$
$\Rightarrow $ Hàm số $y=f\left( \cos x+2x+m \right)$ đồng biến trên $\left[ 0; +\infty \right)$ khi và chỉ khi
$\left( -\sin x+2 \right).{f}'\left( \cos x+2x+m \right)\ge 0, \forall x\in \left( 0; +\infty \right)$ (1)
Do $-\sin x+2>0, \forall x\in R$ nên $(1)\Leftrightarrow {f}'\left( \cos x+2x+m \right)\ge 0, \forall x\in \left( 0; +\infty \right)$ (2)
Dựa vào đồ thị ta có
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \cos x+2x+m\ge 2, \forall x\in \left( 0; +\infty \right) \\
& \cos x+2x+m\le 0, \forall x\in \left( 0; +\infty \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \cos x+2x\ge 2-m, \forall x\in \left( 0; +\infty \right) (3) \\
& \cos x+2x\le -m, \forall x\in \left( 0; +\infty \right) (4) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm $g\left( x \right)=\cos x+2x$ trên $\left[ 0; +\infty \right)$ có ${g}'\left( x \right)=-\sin x+2>0, \forall x\in \left( 0; +\infty \right)$ nên $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0; +\infty \right)$ đồng thời $g\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0; +\infty \right)$
Suy ra $\underset{\left[ 0; +\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=1$ và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty $.
Do đó, không có giá trị m thỏa mãn (4)
$\left( 3 \right)\Leftrightarrow \underset{\left[ 0; +\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)\ge 2-m\Leftrightarrow 1\ge 2-m\Leftrightarrow m\ge 1$
Vậy có tất cả 2019 giá trị nguyên của tham số m.