Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới...

Ta có $y^{\prime }=(-\sin x+2).f^{\prime }(\cos x+2x+m)$
Hàm số $y=f(\cos x+2x+m)$ liên tục trên nửa khoảng $[0;+\mathrm{\infty })$
$\Rightarrow$ Hàm số $y=f(\cos x+2x+m)$ đồng biến trên $[0;+\mathrm{\infty })$ khi và chỉ khi
$(-\sin x+2).f^{\prime }(\cos x+2x+m)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in (0;+\mathrm{\infty })$ (1)
Do $-\sin x+2>0,\mathrm{\forall }x\in R$ nên $(1)\iff f^{\prime }(\cos x+2x+m)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in (0;+\mathrm{\infty })$ (2)
Dựa vào đồ thị ta có
$\left(2\right)\iff [\begin{array}{rl}& \cos x+2x+m\ge 2,\mathrm{\forall }x\in (0;+\mathrm{\infty })\\ & \cos x+2x+m\le 0,\mathrm{\forall }x\in (0;+\mathrm{\infty })\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& \cos x+2x\ge 2-m,\mathrm{\forall }x\in (0;+\mathrm{\infty })(3)\\ & \cos x+2x\le -m,\mathrm{\forall }x\in (0;+\mathrm{\infty })(4)\end{array}$
Xét hàm $g\left(x\right)=\cos x+2x$ trên $[0;+\mathrm{\infty })$ có $g^{\prime }\left(x\right)=-\sin x+2>0,\mathrm{\forall }x\in (0;+\mathrm{\infty })$ nên $g\left(x\right)$ đồng biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$ đồng thời $g\left(x\right)$ liên tục trên $[0;+\mathrm{\infty })$
Suy ra $\underset{[0;+\mathrm{\infty })}{min}g\left(x\right)=g\left(0\right)=1$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$.
Do đó, không có giá trị m thỏa mãn (4)
$\left(3\right)\iff \underset{[0;+\mathrm{\infty })}{min}g\left(x\right)\ge 2-m\iff 1\ge 2-m\iff m\ge 1$
Vậy có tất cả 2019 giá trị nguyên của tham số m.