Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Đồ thị hàm số $y=\dfrac{f\left( x \right).\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{\left[ f\left( x \right)-2 \right]\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 2x+1 \right)}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 5
B. 3
C. 6
D. 4
Đồ thị hàm số $y=\dfrac{f\left( x \right).\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{\left[ f\left( x \right)-2 \right]\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 2x+1 \right)}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 5
B. 3
C. 6
D. 4
Trước tiên ta rút gọn phần thức $\dfrac{f\left( x \right).\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{\left[ f\left( x \right)-2 \right]\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 2x+1 \right)},$ khi phân thức này đã tối giản thì về cơ bản, ứng với mỗi một nghiệm của mẫu ta sẽ được một đường tiệm cận đứng, tuy nhiên phải lưu ý các trường hợp đặc biệt.
+) Ta thấy đồ thị $y=f\left( x \right)$ tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 1,2 nên phương trình $f\left( x \right)=0$ có nghiệm kép $x=0$ và hai nghiệm đơn $x=1,x=2$
$\Rightarrow f\left( x \right)={{\left( x-0 \right)}^{2}}\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)g\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)g\left( x \right)$ với $g\left( x \right)$ vô nghiệm.
+) Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại hai điểm có hoành độ $x=a,x=b\left( -1<a<0,2<b<3 \right),$ nên phương trình $f\left( x \right)=2$ có hai nghiệm đơn $x=a,x=b\left( -1<a<0,2<b<3 \right)$
$\Rightarrow f\left( x \right)-2=\left( x-a \right)\left( x-b \right)h\left( x \right)$ với $h\left( x \right)$ vô nghiệm.
Vậy ta có
$y=\dfrac{f\left( x \right).\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{\left[ f\left( x \right)-2 \right]\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 2x+1 \right)}=\dfrac{g\left( x \right)}{h\left( x \right)}.\dfrac{{{x}^{2}}\left( x-1 \right)\left( x-2 \right).\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 2x+1 \right)}$
$=\dfrac{g\left( x \right)}{h\left( x \right)}.\dfrac{{{x}^{2}}.\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( 2x+1 \right)}$
Ta thấy với $x=a\left( -1<a<0 \right)$ và $x=-\dfrac{1}{2}$ thì ${{x}^{2}}+x<0$ nên $\sqrt{{{x}^{2}}+x}$ không tồn tại.
Do đó đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là $x=b,x=-1,x=-2.$
+) Ta thấy đồ thị $y=f\left( x \right)$ tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 1,2 nên phương trình $f\left( x \right)=0$ có nghiệm kép $x=0$ và hai nghiệm đơn $x=1,x=2$
$\Rightarrow f\left( x \right)={{\left( x-0 \right)}^{2}}\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)g\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)g\left( x \right)$ với $g\left( x \right)$ vô nghiệm.
+) Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại hai điểm có hoành độ $x=a,x=b\left( -1<a<0,2<b<3 \right),$ nên phương trình $f\left( x \right)=2$ có hai nghiệm đơn $x=a,x=b\left( -1<a<0,2<b<3 \right)$
$\Rightarrow f\left( x \right)-2=\left( x-a \right)\left( x-b \right)h\left( x \right)$ với $h\left( x \right)$ vô nghiệm.
Vậy ta có
$y=\dfrac{f\left( x \right).\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{\left[ f\left( x \right)-2 \right]\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 2x+1 \right)}=\dfrac{g\left( x \right)}{h\left( x \right)}.\dfrac{{{x}^{2}}\left( x-1 \right)\left( x-2 \right).\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 2x+1 \right)}$
$=\dfrac{g\left( x \right)}{h\left( x \right)}.\dfrac{{{x}^{2}}.\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( 2x+1 \right)}$
Ta thấy với $x=a\left( -1<a<0 \right)$ và $x=-\dfrac{1}{2}$ thì ${{x}^{2}}+x<0$ nên $\sqrt{{{x}^{2}}+x}$ không tồn tại.
Do đó đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là $x=b,x=-1,x=-2.$
Đáp án B.