Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình $\dfrac{1}{3}f\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+x=m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -2;2 \right]$ ?
A. 11
B. 9
C. 8
D. 10
A. 11
B. 9
C. 8
D. 10
HD: Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{1}{3}f\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+x$ trên $\left[ -2;2 \right]$, có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{1}{6}{f}'\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+1$
Với $x\in \left[ -2;2 \right]\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}+1\in \left[ 0;2 \right]$ mà hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;2 \right]\Rightarrow {f}'\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)\ge 0$
Do đó ${g}'\left( x \right)>1;\forall x\in \left[ -2;2 \right]\Rightarrow g\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( -2;2 \right)$
Suy ra $g\left( x \right)=m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -2;2 \right]$ khi $g\left( -2 \right)\le m\le g\left( 2 \right)$
Lại có $g\left( -2 \right)=\dfrac{1}{3}f\left( 0 \right)-2=-\dfrac{4}{3}-2=-\dfrac{10}{3};g\left( 2 \right)=\dfrac{1}{3}f\left( 2 \right)+2=\dfrac{6}{3}+2=4$
Vậy $-\dfrac{10}{3}\le m\le 4$, kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 8 giá trị nguyên $m$ cần tìm.
Với $x\in \left[ -2;2 \right]\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}+1\in \left[ 0;2 \right]$ mà hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;2 \right]\Rightarrow {f}'\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)\ge 0$
Do đó ${g}'\left( x \right)>1;\forall x\in \left[ -2;2 \right]\Rightarrow g\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( -2;2 \right)$
Suy ra $g\left( x \right)=m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -2;2 \right]$ khi $g\left( -2 \right)\le m\le g\left( 2 \right)$
Lại có $g\left( -2 \right)=\dfrac{1}{3}f\left( 0 \right)-2=-\dfrac{4}{3}-2=-\dfrac{10}{3};g\left( 2 \right)=\dfrac{1}{3}f\left( 2 \right)+2=\dfrac{6}{3}+2=4$
Vậy $-\dfrac{10}{3}\le m\le 4$, kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 8 giá trị nguyên $m$ cần tìm.
Đáp án C.