Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao...

Ta có: $f\left[ f\left( x \right)+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)+m=0 \\
& f\left( x \right)+m=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=-m\ \ \ \ \ \ \left( 1 \right) \\
& f\left( x \right)=2-m\ \ \ \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình $f\left( x \right)=m$ có tối đa 2 nghiệm phân biệt, do đó để phương trình $f\left( f\left( x \right)+m \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt thì:
TH1: (1) có 1 nghiệm và (2) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -m=-3 \\
& 2-m>-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=3 \\
& m<5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=3$.
TH2: (1) có 2 nghiệm phân biệt và (2) có 1 nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -m>-3 \\
& 2-m=-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<3 \\
& m=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing $.
Vậy $m=3$.