Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình bên dưới. Có...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị như hình bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

f (\frac{6 x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1} + 2) + 1 = m

có nghiệm?
A. 4
B. 2
C. 5
D. 3

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Đặt

u = \frac{6 x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1} + 2

.
Ta có

u^{'} = \frac{- 12 x^{5} + 12 x}{{(x^{4} + x^{2} + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{aligned}

.

Bài toán trở thành tìm m nguyên để phương trình

f (u) = m - 1

có nghiệm

u \in [2; 4]

.
Dựa vào đồ thị đề bài cho suy ra

f (u) = m - 1

có nghiệm

\Leftrightarrow 1 \leq m - 1 \leq 5 \Leftrightarrow 2 \leq m \leq 6

.
Cách 2: Phương pháp ghép trục

f (x)

có cực trị hoành độ

x = 1; x = 2

.
Đặt

u = \frac{6 x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1} + 2; {u}' = \frac{- 12 x^{5} + 12 x}{{(x^{4} + x^{2} + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{aligned}

.

Suy ra

f (u) = m - 1

có nghiệm

\Leftrightarrow 1 \leq m - 1 \leq 5 \Leftrightarrow 2 \leq m \leq 6

.

Các bước thực hiện phương pháp ghép trục:
Bước 1:Tìm tập xác định của hàm

g = f (u (x))

, giả sử ta được tập xác định

D = (a_{1}; a_{2}) \cup (a_{3}; a_{4}) \cup . . . \cup (a_{n - 1}; a_{n})

. Ở đây có thể là

a_{1} \equiv - \infty; a_{n} \equiv + \infty

.
Bước 2: Xét sự biến thiên của

u = u (x)

và hàm

y = f (x)

(Có thể làm gộp trong bước 3 nếu đơn giản).
Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa

[x; u = u (x)]

và

[u; g = f (u)]

.
Bảng này thường có 3 hàng dạng

Cụ thể các thành phần trong bảng biến thiên như sau
Hàng 1: Xác định các điểm kỳ dị của hàm

u = u (x)

, sắp xếp các điểm này theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải, giả sử:

a_{1} < a_{2} < . . . < a_{n - 1} < a_{n}

(xem chú ý 1).
Hàng 2: Điền các giá trị

u_{i} = u (a_{i})

với

(i = \overset{―}{1, . . ., n})

.
Trên mỗi khoảng

(u_{i}; u_{i + 1}) \overset{―}{i = 1, n - 1}

cần bổ sung các điểm kỳ dị

b_{1}; b_{2}; . . .; b_{k}

của hàm

y = f (x)

.
Trên mỗi khoảng

(u_{i}; u_{i + 1}) \overset{―}{i = 1, n - 1}

cần sắp xếp các điểm

u_{i}; b_{k}

theo thứ tự chẳng hạn:

u_{i} < b_{1} < b_{2} < . . . < b_{k} < u_{i + 1}

hoặc

u_{i} > b_{1} > b_{2} > . . . > b_{k} > u_{i + 1}

(xem chú ý 2).
Hàng 3: Xét chiều biến thiên của hàm

g = f (u (x))

dựa vào bảng biến thiên của hàm

y = f (x)

bằng cách hoán đổi:
u đóng vai trò của x;

f (u)

đóng vai trò của

f (x)

.
Sau khi hoàn thiện bảng biến thiên hàm hợp

g = f (u (x))

ta thấy được hình dạng đồ thị hàm này.
Bước 4: Dùng bảng biến thiên hàm hợp

g = f (u (x))

giải quyết các yêu cầu đặt ra trong bài toán và kết luận.
Chú ý 1:
+ Các điểm kỳ dị của

u = u (x)

gồm: Điểm biên của tập xác định D và các điểm cực trị của

u = u (x)

.
+ Nếu xét hàm

u = | u (x) |

thì trong dòng 1, các điểm kỳ dị còn có nghiệm của phương trình

u (x) = 0

(là hoành độ giao điểm của

u = u (x)

với trục Ox).
+ Nếu xét hàm

u = | u (x) |

thì trong dòng 1, các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của

u = u (x)

với trục Oy).
Chú ý 2:
+ Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của

u = u (x)

.
+ Điểm kỳ dị của

y = f (x)

gồm: Các điểm tại đó

f (x)

và

f^{'} (x)

không xác định; các điểm cực trị hàm số

y = f (x)

.
+ Nếu xét hàm

g = | f (u (x)) |

thì trong dòng 2, các điểm kỳ dị còn có nghiệm của phương trình

f (x) = 0

(là hoành độ giao điểm của

u = u (x)

với trục Ox).
+ Nếu xét hàm

g = | f (u (x)) |

thì trong dòng 2, các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của

y = f (x)

với trục Oy).

Đáp án C.

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình bên dưới. Có...

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình bên dưới. Có...

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình bên dưới. Có...