Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu số nguyên $m$ để bất phương trình $\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x-m \right).f\left( x \right)\le 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ -2;\dfrac{5}{2} \right]$ ?
A. 1
B. 3
C. 0
D. 2
A. 1
B. 3
C. 0
D. 2
Đặt $g\left( x \right)=\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x-m \right)$.
Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left[ -2;1 \right] \\
& f\left( x \right)<0,\forall x\in \left( 1;\dfrac{5}{2} \right] \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow $ Bất phương trình $\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x-m \right).f\left( x \right)\le 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ -2;\dfrac{5}{2} \right]$.
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left[ -2;1 \right] \\
& g\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 1;\dfrac{5}{2} \right] \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)\ge 0;\ \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)\le 0 \\
\end{aligned}$
Do hàm số $y=g\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta có:
$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)\Leftrightarrow g\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow m=1$.
Thử lại, với $m=1$ ta có $g\left( x \right)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x-m={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x-1=\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)$ thỏa mãn đề bài.
Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left[ -2;1 \right] \\
& f\left( x \right)<0,\forall x\in \left( 1;\dfrac{5}{2} \right] \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow $ Bất phương trình $\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x-m \right).f\left( x \right)\le 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ -2;\dfrac{5}{2} \right]$.
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left[ -2;1 \right] \\
& g\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 1;\dfrac{5}{2} \right] \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)\ge 0;\ \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)\le 0 \\
\end{aligned}$
Do hàm số $y=g\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta có:
$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)\Leftrightarrow g\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow m=1$.
Thử lại, với $m=1$ ta có $g\left( x \right)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x-m={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x-1=\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)$ thỏa mãn đề bài.
Đáp án A.