Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left( -10;10 \right)$ đề hàm số $y=f\left( 3x-1 \right)+{{x}^{3}}-3mx$ đồng biến trên khoảng $\left( -2;1 \right)$ ?
A. 10
B. 8
C. 6
D. 11
A. 10
B. 8
C. 6
D. 11
Yêu cầu bài toán tương đương: $y'=3f'\left( 3x-1 \right)+3{{x}^{2}}-3m\ge 0$ với $\forall x\in \left( -2;1 \right)$
$\Leftrightarrow m\le f'\left( 3x-1 \right)+{{x}^{2}}, \forall x\in \left( -2;1 \right) \left( * \right)$
Đặt $t=3x-1\xrightarrow{x\in \left( -2;1 \right)}t\in \left( -7;2 \right)$
Khi đó (*) có dạng: $m\le f'\left( t \right)+\dfrac{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}{9}=g\left( t \right),\forall t\in \left( -7;2 \right)$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left( -7;2 \right)}{\mathop{\min f'\left( t \right)}} =f'\left( -1 \right)=-4 \\
& \underset{\left( -7;2 \right)}{\mathop{\min }} \dfrac{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}{9}=0 khi t=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \underset{\left( -7;2 \right)}{\mathop{\min g\left( t \right)}} =\underset{\left( -7;2 \right)}{\mathop{\min f'\left( t \right)}} +\underset{\left( -7;2 \right)}{\mathop{\min }} \dfrac{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}{9}=-4 khi t=-1$
Vậy (*) $\Leftrightarrow m\le \underset{\left( -7;2 \right)}{\mathop{\min g\left( t \right)}} =-4\xrightarrow{m\in \left( -10;10 \right),m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ -9,-8;...;-4 \right\}$ : có 6 số nguyên m
$\Leftrightarrow m\le f'\left( 3x-1 \right)+{{x}^{2}}, \forall x\in \left( -2;1 \right) \left( * \right)$
Đặt $t=3x-1\xrightarrow{x\in \left( -2;1 \right)}t\in \left( -7;2 \right)$
Khi đó (*) có dạng: $m\le f'\left( t \right)+\dfrac{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}{9}=g\left( t \right),\forall t\in \left( -7;2 \right)$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left( -7;2 \right)}{\mathop{\min f'\left( t \right)}} =f'\left( -1 \right)=-4 \\
& \underset{\left( -7;2 \right)}{\mathop{\min }} \dfrac{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}{9}=0 khi t=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \underset{\left( -7;2 \right)}{\mathop{\min g\left( t \right)}} =\underset{\left( -7;2 \right)}{\mathop{\min f'\left( t \right)}} +\underset{\left( -7;2 \right)}{\mathop{\min }} \dfrac{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}{9}=-4 khi t=-1$
Vậy (*) $\Leftrightarrow m\le \underset{\left( -7;2 \right)}{\mathop{\min g\left( t \right)}} =-4\xrightarrow{m\in \left( -10;10 \right),m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ -9,-8;...;-4 \right\}$ : có 6 số nguyên m
Đáp án C.