Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)+\dfrac{480}{m\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)}$ nghịch biến trên (0;1)?
A. 4.
B. 6.
C. 7.
D. 8.
A. 4.
B. 6.
C. 7.
D. 8.
Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (0; 1) khi ${g}'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow \left( 2x+1 \right)\left[ {f}'\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)-\dfrac{480}{m{{\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)}^{2}}} \right]<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{480}{m}>{{\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)}^{2}}.{f}'\left( {{x}^{2}}+x-1 \right),\forall x\in \left( 0;1 \right)\xrightarrow{t={{x}^{2}}+x-1}\dfrac{480}{m}>{{\left( t+3 \right)}^{2}}.{f}'\left( t \right),\forall t\in \left( -1;1 \right).$
Dựa vào đồ thị, ta có$\left\{ \begin{aligned}
& 0<{f}'\left( t \right)<4 \\
& 2<{{\left( t+3 \right)}^{2}}<16 \\
\end{aligned} \right.,\forall t\in \left( -1;1 \right)\xrightarrow{{}}{{\left( t+3 \right)}^{2}}.{f}'\left( t \right)<64,\forall t\in \left( -1;1 \right).$
Theo YCBT $\xrightarrow{{}}\dfrac{480}{m}\ge 64\Leftrightarrow m\le \dfrac{15}{2}.$
$\Leftrightarrow \left( 2x+1 \right)\left[ {f}'\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)-\dfrac{480}{m{{\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)}^{2}}} \right]<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{480}{m}>{{\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)}^{2}}.{f}'\left( {{x}^{2}}+x-1 \right),\forall x\in \left( 0;1 \right)\xrightarrow{t={{x}^{2}}+x-1}\dfrac{480}{m}>{{\left( t+3 \right)}^{2}}.{f}'\left( t \right),\forall t\in \left( -1;1 \right).$
Dựa vào đồ thị, ta có$\left\{ \begin{aligned}
& 0<{f}'\left( t \right)<4 \\
& 2<{{\left( t+3 \right)}^{2}}<16 \\
\end{aligned} \right.,\forall t\in \left( -1;1 \right)\xrightarrow{{}}{{\left( t+3 \right)}^{2}}.{f}'\left( t \right)<64,\forall t\in \left( -1;1 \right).$
Theo YCBT $\xrightarrow{{}}\dfrac{480}{m}\ge 64\Leftrightarrow m\le \dfrac{15}{2}.$
Đáp án C.