Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị được cho như hình vẽ...

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
- Dựa vào đồ thị hàm số $f\left( x \right)$, ta có:
$\left| f\left( {{x}^{3}}-3x+1 \right)-2 \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( {{x}^{3}}-3x+1 \right)=1 \\
& f\left( {{x}^{3}}-3x+1 \right)=3 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3x+1=b\left( b<-1 \right)\left( 2 \right) \\
& {{x}^{3}}-3x+1=c\left( -1<c<3 \right)\left( 3 \right) \\
& {{x}^{3}}-3x+1=d\left( d>3 \right)\left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& {{x}^{2}}-3x+1=a\left( a>d \right)\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ (hình vẽ bên đây)

Ta suy ra: Phương trình (1), (2), (4) mỗi phương trình có 1 nghiệm, phương trình (3) có 3 nghiệm và các nghiệm này đều phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt $u={{x}^{3}}-3x+1$.
Ta có ${u}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow x=\pm 1$.
Bảng biến thiên của hàm số $u\left( x \right)$ :

Phương trình $\left| f\left( {{x}^{3}}-3x+1 \right)-2 \right|=1$ trở thành: $\left| f\left( u \right)-2 \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( u \right)=3 \\
& f\left( u \right)=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và từ bảng biến thiên của hàm số $u\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+1$ ta có bảng biến thiên của hàm hợp $f\left( {{x}^{3}}-3x+1 \right)=f\left( u \right)$ như sau:

Từ bảng trên ta thấy phương trình $f\left( u \right)=1$ có 5 nghiệm và phương trình $f\left( u \right)=3$ có 1 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm.