Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị của hàm số $y={f}'\left( x \right)$ được cho như hình bên. Hàm số $y=-2f\left( 2-x \right)+{{x}^{2}}$ nghịch biến trên khoảng
A. $\left( -1; 0 \right)$
B. $\left( 0; 2 \right)$
C. $\left( -2; -1 \right)$
D. $\left( -3; -2 \right)$
A. $\left( -1; 0 \right)$
B. $\left( 0; 2 \right)$
C. $\left( -2; -1 \right)$
D. $\left( -3; -2 \right)$
Xét hàm số $y=-2f\left( 2-x \right)+{{x}^{2}}$, có ${g}'\left( x \right)=2{f}'\left( 2-x \right)+2x$
Khi đó ${g}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow 2{f}'\left( 2-x \right)+2x<0\Leftrightarrow {f}'\left( 2-x \right)<2-x-2$
Đặt $t=2-x$ nên bất phương trình trở thành: ${f}'\left( t \right)<t-2$
Dựa vào đồ thị ta thấy rằng: ${f}'\left( t \right)<t-2\Leftrightarrow 1<t<3$
Do đó $1<2-x<3\Leftrightarrow -1<x<1$ thì ${g}'\left( x \right)<0$
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( -1; 1 \right)$
Khi đó ${g}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow 2{f}'\left( 2-x \right)+2x<0\Leftrightarrow {f}'\left( 2-x \right)<2-x-2$
Đặt $t=2-x$ nên bất phương trình trở thành: ${f}'\left( t \right)<t-2$
Dựa vào đồ thị ta thấy rằng: ${f}'\left( t \right)<t-2\Leftrightarrow 1<t<3$
Do đó $1<2-x<3\Leftrightarrow -1<x<1$ thì ${g}'\left( x \right)<0$
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( -1; 1 \right)$
Đáp án A.