Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị của hàm đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ. Tìm $m$ để hàm số $g\left( x \right)=\left| {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m \right|$ có đúng ba điểm cực trị. Biết rằng $f\left( b \right)=0$ và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty ,$ $\underset{x\to -\infty }{\mathop{ \lim }} f\left( x \right)=-\infty $
A. $m<\dfrac{1}{4}$
B. $m>0$
C. $m\le 0$
D. $m\ge \dfrac{1}{4}$
A. $m<\dfrac{1}{4}$
B. $m>0$
C. $m\le 0$
D. $m\ge \dfrac{1}{4}$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$ như sau:
${g}'\left( x \right)=\dfrac{{{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m \right]}^{\prime }}.\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m \right]}{\left| {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m \right|}=\dfrac{\left[ 2f\left( x \right)+1 \right].{f}'\left( x \right)\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m \right]}{\left| {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m \right|}$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=-\dfrac{1}{2} \\
& {f}'\left( x \right)=0 \\
& {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}$ có 1 nghiệm, phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x=a,x=b.$
Để hàm số $g\left( x \right)$ có đúng 3 điểm cực trị thì phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
$f\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{\Delta }_{f\left( x \right)}}={{1}^{2}}-4m\le 0\Leftrightarrow m\ge \dfrac{1}{4}.$
${g}'\left( x \right)=\dfrac{{{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m \right]}^{\prime }}.\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m \right]}{\left| {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m \right|}=\dfrac{\left[ 2f\left( x \right)+1 \right].{f}'\left( x \right)\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m \right]}{\left| {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m \right|}$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=-\dfrac{1}{2} \\
& {f}'\left( x \right)=0 \\
& {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}$ có 1 nghiệm, phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x=a,x=b.$
Để hàm số $g\left( x \right)$ có đúng 3 điểm cực trị thì phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
$f\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{\Delta }_{f\left( x \right)}}={{1}^{2}}-4m\le 0\Leftrightarrow m\ge \dfrac{1}{4}.$
Đáp án D.