Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị của hàm đạo hàm...

Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x\right)$ như sau:

$g^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{{[f^2\left(x\right)+f\left(x\right)+m]}^{\prime }.[f^2\left(x\right)+f\left(x\right)+m]}{|f^2\left(x\right)+f\left(x\right)+m|}}={\displaystyle \frac{[2f\left(x\right)+1].f^{\prime }\left(x\right)[f^2\left(x\right)+f\left(x\right)+m]}{|f^2\left(x\right)+f\left(x\right)+m|}}$
$\Rightarrow g^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & f^{\prime }\left(x\right)=0\\ & f^2\left(x\right)+f\left(x\right)+m=0\left(1\right)\end{array}$
Phương trình $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ có 1 nghiệm, phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x=a,x=b.$
Để hàm số $g\left(x\right)$ có đúng 3 điểm cực trị thì phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
$f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\iff {\mathrm{\Delta }}_{f\left(x\right)}=1^2-4m\le 0\iff m\ge {\displaystyle \frac{1}{4}}.$