Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo trên $\mathbb{R}$. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y={f}'\left( x \right)$, ${f}'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2 \right)$. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$
B. Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$
C. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -1;0 \right)$
D. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$
A. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$
B. Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$
C. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -1;0 \right)$
D. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$
Giả sử ${f}'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)$
Khi đó ${g}'\left( x \right)=2x{{\left( {{x}^{2}}-2+1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2-2 \right)=2x{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4 \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 0<x<2 \\
& x<-2 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$ và $\left( -\infty ;-2 \right)$.
Khi đó ${g}'\left( x \right)=2x{{\left( {{x}^{2}}-2+1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2-2 \right)=2x{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4 \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 0<x<2 \\
& x<-2 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$ và $\left( -\infty ;-2 \right)$.
Đáp án C.