Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'(x)=a{{x}^{2}}+bx+8 (a,b\in \mathbb{R})$. Đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ và trục hoành (phần gạch chéo) bằng
A. $8.$
B. $4.$
C. $16.$
D. $12.$
A. $8.$
B. $4.$
C. $16.$
D. $12.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ và trục hoành (phần gạch chéo) được xác định bằng $S=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{2}^{4}{f\left( x \right)dx}$.
Có ${f}'(x)=a{{x}^{2}}+bx+8 (a,b\in \mathbb{R})$ $\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{a{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{b{{x}^{2}}}{2}+8x+C (a,b\in \mathbb{R})$
Vì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ đi qua các điểm $\left( 0;0 \right),\left( 2;0 \right),\left( 4;0 \right)$ nên ta được
$\left\{ \begin{aligned}
& C=0 \\
& \dfrac{8a}{3}+2b+16=0 \\
& \dfrac{64a}{3}+8b+32=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& C=0 \\
& a=3 \\
& b=-12 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+8x$.
Vậy $S=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{2}^{4}{f\left( x \right)dx}$ $=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+8x \right)dx}-\int\limits_{2}^{4}{\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+8x \right)dx}=8$.
Có ${f}'(x)=a{{x}^{2}}+bx+8 (a,b\in \mathbb{R})$ $\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{a{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{b{{x}^{2}}}{2}+8x+C (a,b\in \mathbb{R})$
Vì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ đi qua các điểm $\left( 0;0 \right),\left( 2;0 \right),\left( 4;0 \right)$ nên ta được
$\left\{ \begin{aligned}
& C=0 \\
& \dfrac{8a}{3}+2b+16=0 \\
& \dfrac{64a}{3}+8b+32=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& C=0 \\
& a=3 \\
& b=-12 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+8x$.
Vậy $S=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{2}^{4}{f\left( x \right)dx}$ $=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+8x \right)dx}-\int\limits_{2}^{4}{\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+8x \right)dx}=8$.
Đáp án A.