Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $y=f'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu số nguyên $m\in \left[ -2019;2019 \right]$ để hàm số $y=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+m} \right)$ có 5 điểm cực trị?
A. 2024
B. 2023
C. 5
D. 4
A. 2024
B. 2023
C. 5
D. 4
HD: Dựa vào hình vẽ, ta chọn $f'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( x-5 \right);\forall x\in \mathbb{R}$
Ta có $y'={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+m} \right)}^{\prime }}.f'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+m} \right)=\dfrac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+m}}.f'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+m} \right)$
$=\dfrac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+m}}.\left( {{x}^{2}}+2x+m-4 \right).\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+m}-5 \right)$
Do đó $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& {{x}^{2}}+2x+m-4=0\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}+2x+m-25=0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left( 1 \right),\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1\Rightarrow m<5$
Kết hợp với $m\in \left[ -2019;2019 \right]$ và $m\in \mathbb{R}\Rightarrow $ có 2024 giá trị nguyên m.
Ta có $y'={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+m} \right)}^{\prime }}.f'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+m} \right)=\dfrac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+m}}.f'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+m} \right)$
$=\dfrac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+m}}.\left( {{x}^{2}}+2x+m-4 \right).\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+m}-5 \right)$
Do đó $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& {{x}^{2}}+2x+m-4=0\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}+2x+m-25=0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left( 1 \right),\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1\Rightarrow m<5$
Kết hợp với $m\in \left[ -2019;2019 \right]$ và $m\in \mathbb{R}\Rightarrow $ có 2024 giá trị nguyên m.
Đáp án A.