Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm xác định trên $\left[ 0;+\infty \right)$ và thoả mãn $x\left[ {f}'\left( x \right)+x \right]=\left( x+1 \right)f\left( x \right); f\left( 1 \right)=e+1$. Biết rằng $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{a}{b}$ ; trong đó $a,b$ là những số nguyên dương và phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Khi đó giá trị của $\left( 2a+b \right)$ tương ứng bằng
A. $4$.
B. $5$.
C. $8$.
D. $7$.
Xét trên đoạn $\left[ 0;+\infty \right)$, ta có:
$x\left[ {f}'\left( x \right)+x \right]=\left( x+1 \right)f\left( x \right)\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)-\dfrac{x+1}{x}f\left( x \right)=-x\Leftrightarrow \dfrac{{{e}^{-x}}}{x}{f}'\left( x \right)-\dfrac{\left( x+1 \right){{e}^{-x}}}{{{x}^{2}}}f\left( x \right)=-{{e}^{-x}}$
$\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{{{e}^{-x}}}{x}.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=-{{e}^{-x}}$
$\Rightarrow \int{{{\left[ \dfrac{{{e}^{-x}}}{x}.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}\text{d}x}=\int{-{{e}^{-x}}\text{d}x}$
$\Rightarrow \dfrac{{{e}^{-x}}}{x}.f\left( x \right)={{e}^{-x}}+C$.
Theo giả thiết, $f\left( 1 \right)=e+1$ nên $\dfrac{1}{e}\left( e+1 \right)=\dfrac{1}{e}+C\Leftrightarrow C=1$. Vậy $f\left( x \right)=x+x.{{e}^{x}}$
Do đó $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( x+x.{{e}^{x}} \right)dx}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2a+b=8$.
A. $4$.
B. $5$.
C. $8$.
D. $7$.
Xét trên đoạn $\left[ 0;+\infty \right)$, ta có:
$x\left[ {f}'\left( x \right)+x \right]=\left( x+1 \right)f\left( x \right)\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)-\dfrac{x+1}{x}f\left( x \right)=-x\Leftrightarrow \dfrac{{{e}^{-x}}}{x}{f}'\left( x \right)-\dfrac{\left( x+1 \right){{e}^{-x}}}{{{x}^{2}}}f\left( x \right)=-{{e}^{-x}}$
$\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{{{e}^{-x}}}{x}.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=-{{e}^{-x}}$
$\Rightarrow \int{{{\left[ \dfrac{{{e}^{-x}}}{x}.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}\text{d}x}=\int{-{{e}^{-x}}\text{d}x}$
$\Rightarrow \dfrac{{{e}^{-x}}}{x}.f\left( x \right)={{e}^{-x}}+C$.
Theo giả thiết, $f\left( 1 \right)=e+1$ nên $\dfrac{1}{e}\left( e+1 \right)=\dfrac{1}{e}+C\Leftrightarrow C=1$. Vậy $f\left( x \right)=x+x.{{e}^{x}}$
Do đó $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( x+x.{{e}^{x}} \right)dx}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2a+b=8$.
Đáp án C.