Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm và đồng biến trên $\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3} \right]$. Xác định $m$ để bất phương trình $f\left( x \right)<{{e}^{\cos x}}-\ln \left( \sin x \right)-m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3} \right]$
A. $m>\sqrt{e}-\ln \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)-f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)$
B. $m\le \sqrt{e}-\ln \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)-f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)$
C. $m<\sqrt{e}-\ln \left( \dfrac{1}{2} \right)-f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)$
D. $m\ge \sqrt{e}-\ln \left( \dfrac{1}{2} \right)-f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)$
A. $m>\sqrt{e}-\ln \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)-f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)$
B. $m\le \sqrt{e}-\ln \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)-f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)$
C. $m<\sqrt{e}-\ln \left( \dfrac{1}{2} \right)-f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)$
D. $m\ge \sqrt{e}-\ln \left( \dfrac{1}{2} \right)-f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)$
Ta có: $\begin{aligned}
& f\left( x \right)<{{e}^{\cos x}}-\ln \left( \sin x \right)-m\Leftrightarrow m<{{e}^{\cos x}}-\ln \left( \sin x \right)-f\left( x \right)=g\left( x \right) \\
& \Rightarrow g'\left( x \right)=-\sin x.{{e}^{\cos x}}-\cot x-f'\left( x \right)=-\left( \sin x.{{e}^{\cos x}}+\cot x+f'\left( x \right) \right)<0,\forall x\in \left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3} \right] \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3} \right]$.
Để thỏa mãn đề thì $m\le \underset{\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3} \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\sqrt{e}-\ln \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)-f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)$.
& f\left( x \right)<{{e}^{\cos x}}-\ln \left( \sin x \right)-m\Leftrightarrow m<{{e}^{\cos x}}-\ln \left( \sin x \right)-f\left( x \right)=g\left( x \right) \\
& \Rightarrow g'\left( x \right)=-\sin x.{{e}^{\cos x}}-\cot x-f'\left( x \right)=-\left( \sin x.{{e}^{\cos x}}+\cot x+f'\left( x \right) \right)<0,\forall x\in \left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3} \right] \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3} \right]$.
Để thỏa mãn đề thì $m\le \underset{\left[ \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3} \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\sqrt{e}-\ln \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)-f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)$.
Đáp án B.