Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm và có bảng biến thiên như sau
Bất phương trình $f\left( x \right)<{{e}^{x}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( -2;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge f\left( 2 \right)-e.$
B. $m>f\left( -2 \right)-\dfrac{1}{e}.$
C. $m\ge f\left( -2 \right)-\dfrac{1}{e}.$
D. $m>f\left( 2 \right)-e.$
A. $m\ge f\left( 2 \right)-e.$
B. $m>f\left( -2 \right)-\dfrac{1}{e}.$
C. $m\ge f\left( -2 \right)-\dfrac{1}{e}.$
D. $m>f\left( 2 \right)-e.$
Có $f\left( x \right)<{{e}^{x}}+m\Leftrightarrow f\left( x \right)-{{e}^{x}}<m$.
Xét $h\left( x \right)=f\left( x \right)-{{e}^{x}},x\in \left( -2;2 \right).$
${h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{e}^{x}}<0,\forall x\in \left( -2;2 \right)$ (Vì ${f}'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( -2;2 \right)$
$\Rightarrow h\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -2;2 \right)\Rightarrow h\left( 2 \right)<h\left( x \right)<h\left( -2 \right),\forall x\in \left( -2;2 \right).$
Để bất phương trình $f\left( x \right)<{{e}^{x}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( -2;2 \right)$
$\Leftrightarrow m\ge h\left( -2 \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( -2 \right)-\dfrac{1}{e}.$
Xét $h\left( x \right)=f\left( x \right)-{{e}^{x}},x\in \left( -2;2 \right).$
${h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{e}^{x}}<0,\forall x\in \left( -2;2 \right)$ (Vì ${f}'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( -2;2 \right)$
$\Rightarrow h\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -2;2 \right)\Rightarrow h\left( 2 \right)<h\left( x \right)<h\left( -2 \right),\forall x\in \left( -2;2 \right).$
Để bất phương trình $f\left( x \right)<{{e}^{x}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( -2;2 \right)$
$\Leftrightarrow m\ge h\left( -2 \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( -2 \right)-\dfrac{1}{e}.$
Đáp án C.