Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$...

Hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| 2{{x}^{3}}+3x \right|-m+1 \right)$ là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục $Oy$.
Suy ra $x=0$ là một điểm cực trị của hàm số.
Đặt $t=2{{x}^{3}}+3x$
${t}'=6{{x}^{2}}+3>0\Rightarrow t,x$ đồng biến.
Suy ra ứng với mỗi $t$ chỉ có duy nhất một nghiệm $x$.
Ta có: $g\left( t \right)=f\left( \left| t \right|-m+1 \right)$.
${g}'\left( t \right)=\dfrac{t}{\left| t \right|}{f}'\left( \left| t \right|-m+1 \right) ;$ $\left( t\ne 0 \right)$.
Dựa vào đồ thị, ta có:
${g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| t \right|-m+1=-2 \\
& \left| t \right|-m+1=2 \\
& \left| t \right|-m+1=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| t \right|=-3+m \\
& \left| t \right|=1+m \\
& \left| t \right|=5+m \\
\end{aligned} \right. $. $ \left( * \right)$
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| 2{{x}^{3}}+3x \right|-m+1 \right)$ có đúng 5 điểm cực trị.
$\Leftrightarrow $ Hệ phương trình $\left( * \right)$ có 4 nghiệm phân biệt khác 0.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3+m\le 0 \\
& 1+m>0 \\
& 5+m>0 \\
& 1+m\ne 5+m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 3 \\
& m>-1 \\
& m>-5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -1<m\le 3$.
Vậy có 4 giá trị nguyên của $m$ thỏa đề.