Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị, đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ là đường cong của hình vẽ bên. Xét hàm số $h\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}-2x.f\left( x \right)+2{{x}^{2}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Đồ thị của hàm số $y=h\left( x \right)$ có điểm cực tiểu là $M\left( 1;0 \right)$.
B. Hàm số $y=h\left( x \right)$ không có cực trị.
C. Đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ có điểm cực đại là $N\left( 1;2 \right)$.
D. Đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ có điểm cực đại là $M\left( 1;0 \right)$.
Theo bài ra ta có
${h}'\left( x \right)=f'\left( x \right).f\left( x \right)-2f\left( x \right)+2x.{f}'\left( x \right)+4x$ $={f}'\left( x \right)\left( f\left( x \right)-2x \right)-2\left( f\left( x \right)-2x \right)$ $=\left( {f}'\left( x \right)-2 \right)\left( f\left( x \right)-2x \right)$
Từ đồ thị ta thấy $y=f\left( x \right)$ nghịch biến nên $f'\left( x \right)<0$ suy ra ${f}'\left( x \right)-2<0$.
Suy ra ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)-2x=0$.
Từ đồ thị dưới ta thấy $f\left( x \right)-2x=0\Leftrightarrow x=1$.
Ta có bảng biến thiên:
Suy ra đồ thị của hàm số $y=h\left( x \right)$ có điểm cực tiểu là $M\left( 1;0 \right)$.
A. Đồ thị của hàm số $y=h\left( x \right)$ có điểm cực tiểu là $M\left( 1;0 \right)$.
B. Hàm số $y=h\left( x \right)$ không có cực trị.
C. Đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ có điểm cực đại là $N\left( 1;2 \right)$.
D. Đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ có điểm cực đại là $M\left( 1;0 \right)$.
Theo bài ra ta có
${h}'\left( x \right)=f'\left( x \right).f\left( x \right)-2f\left( x \right)+2x.{f}'\left( x \right)+4x$ $={f}'\left( x \right)\left( f\left( x \right)-2x \right)-2\left( f\left( x \right)-2x \right)$ $=\left( {f}'\left( x \right)-2 \right)\left( f\left( x \right)-2x \right)$
Từ đồ thị ta thấy $y=f\left( x \right)$ nghịch biến nên $f'\left( x \right)<0$ suy ra ${f}'\left( x \right)-2<0$.
Suy ra ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)-2x=0$.
Từ đồ thị dưới ta thấy $f\left( x \right)-2x=0\Leftrightarrow x=1$.
Ta có bảng biến thiên:
Suy ra đồ thị của hàm số $y=h\left( x \right)$ có điểm cực tiểu là $M\left( 1;0 \right)$.
Đáp án A.