Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và...

Đặt $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)$. Ta có ${g}'\left( x \right)=\left( 2x-2 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-2x=-2 \\
& {{x}^{2}}-2x=1 \\
& {{x}^{2}}-2x=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-2x+2=0 \\
& {{x}^{2}}-2x-1=0 \\
& {{x}^{2}}-2x-3=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=1\pm \sqrt{2} \\
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Trong đó các nghiệm $-1, 1, 3$ là nghiệm bội lẻ và $1\pm \sqrt{2}$ là nghiệm bội chẵn. Vì vậy hàm số ${g}'\left( x \right)$ chỉ đổi dấu khi đi qua các nghiệm $-1, 1, 3$.
Ta có ${g}'\left( 0 \right)=-2{f}'\left( 0 \right)<0$ (do ${f}'\left( 0 \right)>0$ ).
Bảng xét dấu ${g}'\left( x \right)$

Vậy hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)$ có đúng $1$ điểm cực tiểu là $x=1$.