Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị, đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ là đường cong ở hình vẽ bên. Xét hàm số $h\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}-2xf\left( x \right)+2{{x}^{2}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ có điểm cực tiểu là $M\left( 1;0 \right)$.
B. Hàm số $y=h\left( x \right)$ không có cực trị.
C. Đồ thị của hàm số $y=h\left( x \right)$ có điểm cực đại là $N\left( 1;2 \right)$.
D. Đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ có điểm cực đại là $M\left( 1;0 \right)$.
A. Đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ có điểm cực tiểu là $M\left( 1;0 \right)$.
B. Hàm số $y=h\left( x \right)$ không có cực trị.
C. Đồ thị của hàm số $y=h\left( x \right)$ có điểm cực đại là $N\left( 1;2 \right)$.
D. Đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ có điểm cực đại là $M\left( 1;0 \right)$.
Ta có ${h}'\left( x \right)=f\left( x \right){f}'\left( x \right)-2f\left( x \right)-2x{f}'\left( x \right)+4x$.
Suy ra ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)\left[ {f}'\left( x \right)-2 \right]-2x\left[ {f}'\left( x \right)-2 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=2x \\
& {f}'\left( x \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Từ giả thiết hàm số không có cực trị, kết hợp với đồ thị suy ra hàm số luôn nghịch biến nên ${f}'\left( x \right)<0$ với mọi x. Suy ra ${f}'\left( x \right)-2<0$ với mọi x.
Phương trình $f\left( x \right)=2x$ có nghiệm duy nhất x = 1 (VT nghịch biến – VP đồng biến).
Bảng biến thiên
Do đó đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ có điểm cực tiểu $M\left( 1;0 \right)$.
Suy ra ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)\left[ {f}'\left( x \right)-2 \right]-2x\left[ {f}'\left( x \right)-2 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=2x \\
& {f}'\left( x \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Từ giả thiết hàm số không có cực trị, kết hợp với đồ thị suy ra hàm số luôn nghịch biến nên ${f}'\left( x \right)<0$ với mọi x. Suy ra ${f}'\left( x \right)-2<0$ với mọi x.
Phương trình $f\left( x \right)=2x$ có nghiệm duy nhất x = 1 (VT nghịch biến – VP đồng biến).
Bảng biến thiên
Đáp án A.