Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị $\left( C \right)$. Tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm $\left( 2;m \right)$ có phương trình là $y=4x-6$. Tiếp tuyến của các đồ thị hàm số $y=f\left[ f\left( x \right) \right]$ và $y=f\left( 3{{x}^{2}}-10 \right)$ tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình lần lượt là $y=ax+b$ và $y=cx+d$. Tính giá trị của biểu thức $S=4a+3c-2b+d$.
A. $S=-26$.
B. $S=176$.
C. $S=178$.
D. $S=174$.
A. $S=-26$.
B. $S=176$.
C. $S=178$.
D. $S=174$.
Ta có $f\left( 2 \right)=4.2-6=2$ nên tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( 2;2 \right)$ có phương trình là $y={f}'\left( 2 \right)\left( x-2 \right)+2$. Theo giả thiết, ta có ${f}'\left( 2 \right)=4$.
Đặt $g\left( x \right)=f\left[ f\left( x \right) \right]$ và $h\left( x \right)=f\left( 3{{x}^{2}}-10 \right)$.
Khi đó ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right).{f}'\left[ f\left( x \right) \right]$ và ${h}'\left( x \right)=6x.{f}'\left( 3{{x}^{2}}-10 \right)$.
Có $f\left[ f\left( 2 \right) \right]=f\left( 2 \right)=2$ ; $h\left( 2 \right)=f\left( 2 \right)=2$ và ${g}'\left( 2 \right)={f}'\left( 2 \right).{f}'\left( 2 \right)=16$ ; ${h}'\left( 2 \right)=12.{f}'\left( 2 \right)=48$.
Suy ra, tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ tại điểm $\left( 2;2 \right)$ có phương trình $y=16x-30$, còn tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ tại điểm $\left( 2;2 \right)$ có phương trình $y=48x-94$.
Do đó $a=16,b=-30,c=48,d=-94$. Suy ra $S=174$.
Đặt $g\left( x \right)=f\left[ f\left( x \right) \right]$ và $h\left( x \right)=f\left( 3{{x}^{2}}-10 \right)$.
Khi đó ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right).{f}'\left[ f\left( x \right) \right]$ và ${h}'\left( x \right)=6x.{f}'\left( 3{{x}^{2}}-10 \right)$.
Có $f\left[ f\left( 2 \right) \right]=f\left( 2 \right)=2$ ; $h\left( 2 \right)=f\left( 2 \right)=2$ và ${g}'\left( 2 \right)={f}'\left( 2 \right).{f}'\left( 2 \right)=16$ ; ${h}'\left( 2 \right)=12.{f}'\left( 2 \right)=48$.
Suy ra, tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ tại điểm $\left( 2;2 \right)$ có phương trình $y=16x-30$, còn tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ tại điểm $\left( 2;2 \right)$ có phương trình $y=48x-94$.
Do đó $a=16,b=-30,c=48,d=-94$. Suy ra $S=174$.
Đáp án D.