Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Trên đoạn $\left[ -3;4 \right]$ hàm số $g\left( x \right)=f\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)-\ln \left( {{x}^{2}}+8\text{x}+16 \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
Ta có $g\left( x \right)=f\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)-\ln {{\left( x+4 \right)}^{2}}=f\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)-2\ln \left( x+4 \right)\left( x\in \left[ -3;4 \right] \right)$.
${g}'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{f}'\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)-\dfrac{2}{x+4};\text{ {g}'}\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)=\dfrac{4}{x+4}$.
Đặt $\dfrac{x}{2}+1=t\Rightarrow x=2t-2$, khi đó phương trình có dạng ${f}'\left( t \right)=\dfrac{2}{t+1}/\left[ -\dfrac{1}{2};3 \right]$ (*):
Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=f\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)-\ln \left( {{x}^{2}}+8\text{x}+16 \right)$ là số nghiệm đơn (hay bội lẻ) của phương trình (*) trên $\left[ -\dfrac{1}{2};3 \right]$. Từ đồ thị hàm số trên ta suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.
${g}'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{f}'\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)-\dfrac{2}{x+4};\text{ {g}'}\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)=\dfrac{4}{x+4}$.
Đặt $\dfrac{x}{2}+1=t\Rightarrow x=2t-2$, khi đó phương trình có dạng ${f}'\left( t \right)=\dfrac{2}{t+1}/\left[ -\dfrac{1}{2};3 \right]$ (*):
Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=f\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)-\ln \left( {{x}^{2}}+8\text{x}+16 \right)$ là số nghiệm đơn (hay bội lẻ) của phương trình (*) trên $\left[ -\dfrac{1}{2};3 \right]$. Từ đồ thị hàm số trên ta suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.
Đáp án D.