Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và...

Ta có $g\left(x\right)=f({\displaystyle \frac{x}{2}}+1)-\ln {(x+4)}^2=f({\displaystyle \frac{x}{2}}+1)-2\ln (x+4)(x\in [-3;4])$.
$g^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{f}^{\prime }({\displaystyle \frac{x}{2}}+1)-{\displaystyle \frac{2}{x+4}};\text{ {g}'}\left(x\right)=0\iff f^{\prime }({\displaystyle \frac{x}{2}}+1)={\displaystyle \frac{4}{x+4}}$.
Đặt ${\displaystyle \frac{x}{2}}+1=t\Rightarrow x=2t-2$, khi đó phương trình có dạng $f^{\prime }\left(t\right)={\displaystyle \frac{2}{t+1}}/[-{\displaystyle \frac{1}{2}};3]$ (*):

Số điểm cực trị của hàm số $g\left(x\right)=f({\displaystyle \frac{x}{2}}+1)-\ln (x^2+8\text{x}+16)$ là số nghiệm đơn (hay bội lẻ) của phương trình (*) trên $[-{\displaystyle \frac{1}{2}};3]$. Từ đồ thị hàm số trên ta suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.