Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và...

Ta có $g^{\prime }\left(x\right)=2f^{\prime }(x+2)+2(x+2)=0\iff f^{\prime }(x+2)=-(x+2)$
Đặt $t=x+2,$ phương trình trở thành: $f^{\prime }\left(t\right)=-t$ chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(t\right)$ và đường thẳng $d:y=t$ (hình vẽ).
Dựa vào đồ thị, suy ra $f^{\prime }\left(t\right)=-t\iff [\begin{array}{rl}& t=-1\\ & t=0\\ & t=1\\ & t=2\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=-3\\ & x=-2\\ & x=-1\\ & x=0\end{array}$

Bảng biến thiên hàm số $g\left(x\right)$

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số $g\left(x\right)$ có một điểm cực tiểu.

Bài toán tổng quát: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ được cho bởi đồ thị, bảng xét dấu hoặc bảng biến thiên. Hỏi hàm số $g\left(x\right)=f\left(u\left(x\right)\right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
Phương pháp
B1: Xác định $g^{\prime }\left(x\right)={\left[f\left(u\left(x\right)\right)\right]}^{\prime }=u^{\prime }\left(x\right).f^{\prime }\left(u\left(x\right)\right)$.
B2: Xác định nghiệm của phương trình $g^{\prime }\left(x\right)=0\iff u^{\prime }\left(x\right).f^{\prime }\left(u\left(x\right)\right)=0$ (có thể dựa vào đồ thị, bảng xét dấu hoặc bảng biến thiên của $f^{\prime }\left(x\right)$.
B3: Dựa vào đồ thị, bảng xét dấu hoặc bảng biến thiên của $f^{\prime }\left(x\right)$ để xác định dấu của $g^{\prime }\left(x\right)$.
B4: Kết luận bài toán.