Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và...

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống

Ta có: $g^{\prime }\left(x\right)=3f^{\prime }\left(f\left(x\right)\right).f^{\prime }\left(x\right)$.
$g^{\prime }\left(x\right)=0\iff 3f^{\prime }\left(f\left(x\right)\right).f^{\prime }\left(x\right)=0$
$\iff [\begin{array}{rl}& f^{\prime }\left(f\left(x\right)\right)=0\\ & f^{\prime }\left(x\right)=0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=0\\ & f\left(x\right)=a\\ & x=0\\ & x=a\end{array}(2<a<3)$
Ta có $f\left(x\right)=0$ có 3 nghiệm đơn phân biệt $x_1,x_2,x_3$ khác 0 và a.
Vì $2<a<3$ nên $f\left(x\right)=a$ có 3 nghiệm đơn phân biệt $x_4,x_5,x_6$ khác $x_1,x_2,x_3,0,a$
Suy ra $g^{\prime }\left(x\right)=0$ có 8 nghiệm đơn phân biệt.
Do đó hàm số $g\left(x\right)=3f\left(f\left(x\right)\right)+4$ có 8 điểm cực trị.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt $u=f\left(x\right)$, ta có bảng biến thiên hàm $f\left(u\right)$

Số điểm cực trị của hàm số $g\left(x\right)3f\left(f\left(x\right)\right)+4$ bằng với số điểm cực trị của hàm số $f\left(f\left(x\right)\right)$ tức hàm số $f\left(u\right)$ trên.
Từ bảng biến thiên của $f\left(u\right)$, ta được $g\left(x\right)$ có 8 cực trị.