Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và...

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống

Ta có: ${g}'\left( x \right)=3{f}'\left( f\left( x \right) \right).{f}'\left( x \right)$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{f}'\left( f\left( x \right) \right).{f}'\left( x \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( f\left( x \right) \right)=0 \\
& {f}'\left( x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=a \\
& x=0 \\
& x=a \\
\end{aligned} \right.\left( 2<a<3 \right)$
Ta có $f\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm đơn phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ khác 0 và a.
Vì $2<a<3$ nên $f\left( x \right)=a$ có 3 nghiệm đơn phân biệt ${{x}_{4}},{{x}_{5}},{{x}_{6}}$ khác ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},0,a$
Suy ra ${g}'\left( x \right)=0$ có 8 nghiệm đơn phân biệt.
Do đó hàm số $g\left( x \right)=3f\left( f\left( x \right) \right)+4$ có 8 điểm cực trị.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt $u=f\left( x \right)$, ta có bảng biến thiên hàm $f\left( u \right)$

Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)3f\left( f\left( x \right) \right)+4$ bằng với số điểm cực trị của hàm số $f\left( f\left( x \right) \right)$ tức hàm số $f\left( u \right)$ trên.
Từ bảng biến thiên của $f\left( u \right)$, ta được $g\left( x \right)$ có 8 cực trị.