Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $R$ thỏa...

The Funny · 25/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm trên

R

thỏa mãn

f (1) = 1; f (3 x) - x^{2} f (x^{3}) = 4 x^{3} + 2 x + 1, (\forall x \in R)

. Khi đó

\int_{1}^{3} x f^{'} (x) d x

bằng:
A.

14

B.

- 1

C.

5

D.

6

Ta có

f (1) = 1; f (3) = 8.

Lấy tích phân hai về trên đoạn

[0; 1]

ta được

\begin{aligned} \int_{0}^{1} (f (3 x) - x^{2} f (x^{3})) d x = \int_{0}^{1} (4 x^{3} + 2 x + 1) d x \Leftrightarrow \int_{0}^{1} f (3 x) d x - \int_{0}^{1} x^{2} f (x^{3}) d x = 3 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{3} \int_{0}^{1} f (3 x) d (3 x) - \frac{1}{3} \int_{0}^{1} f (x^{3}) d (x^{3}) = 3 \\ \Leftrightarrow \int_{0}^{3} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x = 9 \\ \Leftrightarrow \int_{1}^{3} f (x) d x = 9 \end{aligned}

Do đó

\int_{1}^{3} x f^{'} (x) d x = \int_{1}^{3} x d (f (x)) = {(x f (x)) |}_{1}^{3} - \int_{1}^{3} f (x) d x = 3 f (3) - 1 f (1) - 9 = 3.8 - 1 - 9 = 14

.

Đáp án A.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R thỏa...