Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( 0 \right)=3$ và $f\left(x \right)+f\left( 2-x...

Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right..$
- Sử dụng giả thiết $f\left( 0 \right)=3$ và $f\left( x \right)+f\left( 2-x \right)={{x}^{2}}-2x+2$ tính $f\left( 2 \right).$
- Từ $f\left( x \right)+f\left( 2-x \right)={{x}^{2}}-2x+2$ lấy tích phân từ 0 đến 2 hai vế, sau đó tính $\int\limits_{0}^{2}{f\left( 2-x \right)dx}$ bằng phương pháp đưa biến vào vi phân.
Cách giải:
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{2}{x.f'\left( x \right)dx}=xf\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 2 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}$
$=2f\left( 2 \right)-\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}$
Theo bài ra ta có $f\left( x \right)+f\left( 2-x \right)={{x}^{2}}-2x+2.$ Thay $x=0\Rightarrow f\left( 0 \right)+f\left( 2 \right)=2\Rightarrow f\left( 2 \right)=2-f\left( 0 \right)=-1.$
Lấy tích phân từ 0 đến 2 hai vế ta có $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{2}{f\left( 2-x \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)dx}=\dfrac{8}{3}.$

Mà $\int\limits_{0}^{2}{f\left( 2-x \right)dx}=-\int\limits_{0}^{2}{f\left( 2-x \right)d\left( 2-x \right)=-\int\limits_{2}^{0}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}}$
$\Rightarrow 2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{4}{3}.$
Vậy $\Rightarrow I=2f\left( 2 \right)-\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=2.\left( -1 \right)-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{10}{3}.$