Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, hàm số $y=f'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, hàm số $y=f'\left( x+2019 \right)$ cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ a, b, c là các số nguyên và có đồ thị như hình vẽ. Gọi ${{m}_{1}}$ là số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)$ nghịch biến trên khoảng (l; 2); ${{m}_{2}}$ là số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-4x+m \right)$ đồng biến trên khoảng (l; 2). Khi đó ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}$ bằng
A. 2b – 2a.
B. 2b – 2a + 2.
C. 2b – 2a – 2.
D. 2b – 2a + 1.
A. 2b – 2a.
B. 2b – 2a + 2.
C. 2b – 2a – 2.
D. 2b – 2a + 1.
Từ đồ thị của hàm số $y=f'\left( x+2019 \right)$ suy ra bảng xét dấu của $y=f'\left( x \right)$ như sau:
Xét hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)$.
$g'\left( x \right)=\left( 2x-2 \right)f'\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)$.
Ta thấy $2x-2>0,\forall x\in \left( 1;2 \right)$ nên $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên (l; 2) khi và chỉ khi $a-2019\le {{x}^{2}}-2x+m\le b-2019,\forall x\in \left( 1;2 \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow -{{x}^{2}}+2x+a-2019\le m\le -{{x}^{2}}+2x+b-2019,\forall x\in \left( 1;2 \right) \\
& \Leftrightarrow 1+a-2019\le m\le b-2019\Leftrightarrow a-2018\le m\le b-2019. \\
\end{aligned}$
Số giá trị nguyên của m thỏa mãn là ${{m}_{1}}=b-2019-a+2018+1=b-a$.
Xét hàm số $y=h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-4x+m \right)$
$h'\left( x \right)=\left( 2x-4 \right)f'\left( {{x}^{2}}-4x+m \right)$
Ta thấy $2x-4<0,\forall x\in \left( 1;2 \right)$ nên $y=h\left( x \right)$ đồng biến trên (l; 2) khi và chỉ khi $a-2019\le {{x}^{2}}-4x+m\le b-2019,\forall x\in \left( 1;2 \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow -{{x}^{2}}+4x+a-2019\le m\le -{{x}^{2}}+4x+b-2019,\forall x\in \left( 1;2 \right) \\
& \Leftrightarrow 4+a-2019\le m\le 3+b-2019\Leftrightarrow a-2015\le m\le b-2016 \\
\end{aligned}$
Số giá trị nguyên của m thỏa mãn là ${{m}_{2}}=b-2016-a+2015+1=b-a.$
Vậy ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=2b-2a$.
Xét hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)$.
$g'\left( x \right)=\left( 2x-2 \right)f'\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)$.
Ta thấy $2x-2>0,\forall x\in \left( 1;2 \right)$ nên $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên (l; 2) khi và chỉ khi $a-2019\le {{x}^{2}}-2x+m\le b-2019,\forall x\in \left( 1;2 \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow -{{x}^{2}}+2x+a-2019\le m\le -{{x}^{2}}+2x+b-2019,\forall x\in \left( 1;2 \right) \\
& \Leftrightarrow 1+a-2019\le m\le b-2019\Leftrightarrow a-2018\le m\le b-2019. \\
\end{aligned}$
Số giá trị nguyên của m thỏa mãn là ${{m}_{1}}=b-2019-a+2018+1=b-a$.
Xét hàm số $y=h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-4x+m \right)$
$h'\left( x \right)=\left( 2x-4 \right)f'\left( {{x}^{2}}-4x+m \right)$
Ta thấy $2x-4<0,\forall x\in \left( 1;2 \right)$ nên $y=h\left( x \right)$ đồng biến trên (l; 2) khi và chỉ khi $a-2019\le {{x}^{2}}-4x+m\le b-2019,\forall x\in \left( 1;2 \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow -{{x}^{2}}+4x+a-2019\le m\le -{{x}^{2}}+4x+b-2019,\forall x\in \left( 1;2 \right) \\
& \Leftrightarrow 4+a-2019\le m\le 3+b-2019\Leftrightarrow a-2015\le m\le b-2016 \\
\end{aligned}$
Số giá trị nguyên của m thỏa mãn là ${{m}_{2}}=b-2016-a+2015+1=b-a.$
Vậy ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=2b-2a$.
Đáp án A.