Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ như hình vẽ bên dưới.
Số điểm cực tiếu của hàm số $g\left( x \right)=2f\left( x+2 \right)+\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)$ là
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 4.
Ta có $g\left( x \right)=2f\left( x+2 \right)+{{x}^{2}}+4x+3\Rightarrow g\left( x \right)=2f\left( x+2 \right)+{{\left( x+2 \right)}^{2}}-1$.
Đặt $t=x+2\Rightarrow t'=1$.
Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=2f\left( x+2 \right)+{{\left( x+2 \right)}^{2}}-1$ cũng chính là số điểm cực trị của hàm số $g\left( t \right)=2f\left( t \right)+{{t}^{2}}-1$ theo một phép tịnh tiến.
Ta đi tìm số điểm cực trị của hàm số
$g\left( t \right)=2f\left( t \right)+{{t}^{2}}-1$
$g'\left( t \right)=2f'\left( t \right)+2t=2\left[ f'\left( t \right)-\left( -t \right) \right]$
$g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow f'\left( t \right)=-t$
Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $\left( C \right):y=f'\left( t \right)$ (coi như đồ thị hàm
số $y=f'\left( x \right)$ và đường thẳng $d:y=-t$ (coi như đường thẳng $d:y=-x$ ).
Dựa vào đồ thị ta thấy d cắt (C) tại 4 điểm có hoành độ lần lượt là $t=\pm 1;t=0;t=2$.
Như vậy $g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\pm 1\cup t=0\cup t=2$.
+ Ta xét $g'\left( t \right)<0\Leftrightarrow f'\left( t \right)<-t\Leftrightarrow $ đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng $d\Leftrightarrow -1<t<0$.
+ Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có: Hàm số g(t) có 1 điểm cực tiểu (với $t=0$ ) $\Leftrightarrow $ hàm số g(x) có một điểm cực tiểu là $x=t-2=-2$.
Số điểm cực tiếu của hàm số $g\left( x \right)=2f\left( x+2 \right)+\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)$ là
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 4.
Ta có $g\left( x \right)=2f\left( x+2 \right)+{{x}^{2}}+4x+3\Rightarrow g\left( x \right)=2f\left( x+2 \right)+{{\left( x+2 \right)}^{2}}-1$.
Đặt $t=x+2\Rightarrow t'=1$.
Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=2f\left( x+2 \right)+{{\left( x+2 \right)}^{2}}-1$ cũng chính là số điểm cực trị của hàm số $g\left( t \right)=2f\left( t \right)+{{t}^{2}}-1$ theo một phép tịnh tiến.
Ta đi tìm số điểm cực trị của hàm số
$g\left( t \right)=2f\left( t \right)+{{t}^{2}}-1$
$g'\left( t \right)=2f'\left( t \right)+2t=2\left[ f'\left( t \right)-\left( -t \right) \right]$
$g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow f'\left( t \right)=-t$
Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $\left( C \right):y=f'\left( t \right)$ (coi như đồ thị hàm
số $y=f'\left( x \right)$ và đường thẳng $d:y=-t$ (coi như đường thẳng $d:y=-x$ ).
Dựa vào đồ thị ta thấy d cắt (C) tại 4 điểm có hoành độ lần lượt là $t=\pm 1;t=0;t=2$.
Như vậy $g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\pm 1\cup t=0\cup t=2$.
+ Ta xét $g'\left( t \right)<0\Leftrightarrow f'\left( t \right)<-t\Leftrightarrow $ đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng $d\Leftrightarrow -1<t<0$.
+ Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có: Hàm số g(t) có 1 điểm cực tiểu (với $t=0$ ) $\Leftrightarrow $ hàm số g(x) có một điểm cực tiểu là $x=t-2=-2$.
Đáp án B.