Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left( 0;+\infty \right).$ Biết ${{x}^{2}}$ là một nguyên hàm của ${{x}^{2}}f'\left( x \right)$...

Phương pháp:
- Sử dụng: $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thì $F'\left( x \right)=f\left( x \right).$ Từ đó tìm $f'\left( x \right).$
- Tìm $f\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right)dx}.$
- Sử dụng $f\left( 1 \right)=1$ tìm hằng số $C$ sau đó tính $f\left( e \right).$
Cách giải:
Do ${{x}^{2}}$ là một nguyên hàm của ${{x}^{2}}f'\left( x \right)$ trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên ${{x}^{2}}f'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}} \right)'=2x\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}}=\dfrac{2}{x}.$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{2}{x}dx}=2\ln x+C.$
Mà $f\left( 1 \right)=1\Rightarrow 2\ln 1+C=1\Leftrightarrow C=1\Rightarrow f\left( x \right)=2\ln x+1.$
Vậy $f\left( e \right)=2\ln e+1=3.$