Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $\left[ 0;3...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm trên

[0; 3]

, thỏa mãn

{\begin{aligned} f (3 - x) . f (x) = 1 \\ f (x) \neq - 1 \end{aligned}

với mọi

x \in [0; 3]

và

f (0) = \frac{1}{2}

. Tính tích phân

I = \int_{0}^{3} \frac{x f^{'} (x)}{{[1 + f (3 - x)]}^{2} . f^{2} (x)} d x

.
A.

I = \frac{1}{2}

.
B.

I = 1

.
C.

I = \frac{3}{2}

.
D.

I = \frac{5}{2}

.

Từ giả thiết

{\begin{aligned} f (3 - x) . f (x) = 1 \\ f (x) = \frac{1}{2} \end{aligned} \Rightarrow f (3) = 2

.
Ta có:

{[1 + f (3 - x)]}^{2} . f^{2} (x) = {[f (x) + f (3 - x) . f (x)]}^{2} = {[f (x) + 1]}^{2}

+ Tính

I = \int_{0}^{3} \frac{x f^{'} (x)}{{[1 + f (x)]}^{2}} d x = - \int_{0}^{3} x d (\frac{1}{1 + f (x)}) = - \frac{x}{1 + f (x)} | \begin{aligned} 3 \\ 0 \end{aligned} + \int_{0}^{3} \frac{1}{1 + f (x)} d x = - 1 + J

+ Tính

J = \int_{0}^{3} \frac{1}{1 + f (x)} d x \overset{t = 3 - x}{=} - \int_{3}^{0} \frac{1}{1 + f (3 - t)} d t = \int_{0}^{3} \frac{1}{1 + f (3 - t)} d t = \int_{0}^{3} \frac{1}{1 + f (3 - x)} d x

\Rightarrow 2 J = \int_{0}^{3} \frac{1}{1 + f (x)} d x + \int_{0}^{3} \frac{1}{1 + f (3 - x)} d x = \int_{0}^{3} d x (f (3 - x) . f (x) = 1) = 3 \Rightarrow J = \frac{3}{2}

Vậy

I = \int_{0}^{3} \frac{x f^{'} (x)}{{[1 + f (3 - x)]}^{2} . f^{2} (x)} d x = \frac{1}{2}

Đáp án A.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên $\left[ 0;3...