Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm tại $x=1$ và ${f}'\left( 1 \right)\ne 0.$ Gọi ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$ lần lượt là hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)=x.f\left( 2x-1 \right)$ tại điểm có hoành độ $x=1.$ Biết rằng hai đường thẳng ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$ vuông góc với nhau. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\sqrt{2}<\left| f\left( 1 \right) \right|<2.$
B. $\left| f\left( 1 \right) \right|\le \sqrt{2}.$
C. $\left| f\left( 1 \right) \right|\ge 2\sqrt{2}.$
D. $2\le \left| f\left( 1 \right) \right|<2\sqrt{2}.$
A. $\sqrt{2}<\left| f\left( 1 \right) \right|<2.$
B. $\left| f\left( 1 \right) \right|\le \sqrt{2}.$
C. $\left| f\left( 1 \right) \right|\ge 2\sqrt{2}.$
D. $2\le \left| f\left( 1 \right) \right|<2\sqrt{2}.$
Ta có $g'\left( x \right)=f\left( 2x-1 \right)+2x.f'\left( 2x-1 \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=f\left( 1 \right)+2f'\left( 1 \right)$.
${{d}_{1}}$ có hệ số góc là $f'\left( 1 \right)$ và ${{d}_{2}}$ có hệ số góc là $g'\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)+2f'\left( 1 \right)$.
Mà ${{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}\Rightarrow f'\left( 1 \right).g'\left( 1 \right)=-1\Leftrightarrow f'\left( 1 \right).\left[ f\left( 1 \right)+2f'\left( 1 \right) \right]=-1$.
$\begin{aligned}
& \Rightarrow f\left( 1 \right)=\dfrac{-2{{\left[ f'\left( 1 \right) \right]}^{2}}-1}{f'\left( 1 \right)} \\
& \Rightarrow \left| f\left( 1 \right) \right|=\left| \dfrac{2{{\left[ f'\left( 1 \right) \right]}^{2}}+1}{f'\left( 1 \right)} \right|=\dfrac{2{{\left[ f'\left( 1 \right) \right]}^{2}}+1}{\left| f'\left( 1 \right) \right|}\ge \dfrac{2\sqrt{2{{\left[ f'\left( 1 \right) \right]}^{2}}.1}}{\left| f'\left( 1 \right) \right|}=2\sqrt{2}. \\
\end{aligned}$
${{d}_{1}}$ có hệ số góc là $f'\left( 1 \right)$ và ${{d}_{2}}$ có hệ số góc là $g'\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)+2f'\left( 1 \right)$.
Mà ${{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}\Rightarrow f'\left( 1 \right).g'\left( 1 \right)=-1\Leftrightarrow f'\left( 1 \right).\left[ f\left( 1 \right)+2f'\left( 1 \right) \right]=-1$.
$\begin{aligned}
& \Rightarrow f\left( 1 \right)=\dfrac{-2{{\left[ f'\left( 1 \right) \right]}^{2}}-1}{f'\left( 1 \right)} \\
& \Rightarrow \left| f\left( 1 \right) \right|=\left| \dfrac{2{{\left[ f'\left( 1 \right) \right]}^{2}}+1}{f'\left( 1 \right)} \right|=\dfrac{2{{\left[ f'\left( 1 \right) \right]}^{2}}+1}{\left| f'\left( 1 \right) \right|}\ge \dfrac{2\sqrt{2{{\left[ f'\left( 1 \right) \right]}^{2}}.1}}{\left| f'\left( 1 \right) \right|}=2\sqrt{2}. \\
\end{aligned}$
Đáp án C.