Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm, liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f\left( x \right)>0$ khi $x\in \left[ 0;5 \right]$. Biết $f\left( x \right).f\left( 5-x \right)=1$, tính tích phân $I=\int_{0}^{5}{\dfrac{\text{d}x}{1+f\left( x \right)}}$.
A. $I=\dfrac{5}{4}$.
B. $I=\dfrac{5}{3}$.
C. $I=\dfrac{5}{2}$.
D. $I=10$.
A. $I=\dfrac{5}{4}$.
B. $I=\dfrac{5}{3}$.
C. $I=\dfrac{5}{2}$.
D. $I=10$.
Đặt $x=t-5$ $\Rightarrow \text{d}x=-\text{d}t$
$x=0\Rightarrow t=5$ ; $x=5\Rightarrow t=0$
$I=-\int_{5}^{0}{\dfrac{\text{d}t}{1+f\left( 5-t \right)}}=\int_{0}^{5}{\dfrac{f\left( t \right)\text{d}t}{1+f\left( t \right)}}$ (do $f\left( 5-t \right)=\dfrac{1}{f\left( t \right)}$ )
$\Rightarrow 2I=\int_{0}^{5}{\text{d}}t=5$ $\Rightarrow I=\dfrac{5}{2}$.
$x=0\Rightarrow t=5$ ; $x=5\Rightarrow t=0$
$I=-\int_{5}^{0}{\dfrac{\text{d}t}{1+f\left( 5-t \right)}}=\int_{0}^{5}{\dfrac{f\left( t \right)\text{d}t}{1+f\left( t \right)}}$ (do $f\left( 5-t \right)=\dfrac{1}{f\left( t \right)}$ )
$\Rightarrow 2I=\int_{0}^{5}{\text{d}}t=5$ $\Rightarrow I=\dfrac{5}{2}$.
Đáp án C.