Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( x \right)+f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)=\sin x.\cos x,\forall x\in \mathbb{R}.$ Biết $f\left( 0 \right)=0.$ Tính $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{xf'\left( x \right)dx}.$
A. $I=\dfrac{\pi }{4}$
B. $I=-\dfrac{\pi }{4}$
C. $I=\dfrac{1}{4}$
D. $I=-\dfrac{1}{4}$
A. $I=\dfrac{\pi }{4}$
B. $I=-\dfrac{\pi }{4}$
C. $I=\dfrac{1}{4}$
D. $I=-\dfrac{1}{4}$
Phương pháp:
- Tính $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right).$
- Xét tích phân $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{xf'\left( x \right)dx},$ sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
- Lấy tích phân từ 0 đến $\dfrac{\pi }{2}$ hai vế của $f\left( x \right)+f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)=\sin x.\cos x.$
- Tính $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)dx}$ theo $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx},$ từ đó tính $I.$
Cách giải:
Có $f\left( 0 \right)=0;f\left( x \right)+f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)=\sin x.\cos x$
Thay $x=0$ ta có: $f\left( 0 \right)+f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=0\Rightarrow f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=0.$
Xét tích phân $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{xf'\left( x \right)dx}.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I=\left( xf\left( x \right) \right)\left| \begin{aligned}
& \dfrac{\pi }{2} \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}.$
Lấy tích phân từ 0 đến $\dfrac{\pi }{2}$ hai vế của $f\left( x \right)+f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)=\sin x.\cos x$ ta được:
$\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( \sin x.\cos x \right)dx}=\dfrac{1}{2}.$
Xét $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)dx}=-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)d\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)}=-\int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{0}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}.$
$\Rightarrow 2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{4}.$
Vậy $I=-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=-\dfrac{1}{4}.$
- Tính $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right).$
- Xét tích phân $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{xf'\left( x \right)dx},$ sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
- Lấy tích phân từ 0 đến $\dfrac{\pi }{2}$ hai vế của $f\left( x \right)+f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)=\sin x.\cos x.$
- Tính $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)dx}$ theo $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx},$ từ đó tính $I.$
Cách giải:
Có $f\left( 0 \right)=0;f\left( x \right)+f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)=\sin x.\cos x$
Thay $x=0$ ta có: $f\left( 0 \right)+f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=0\Rightarrow f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=0.$
Xét tích phân $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{xf'\left( x \right)dx}.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I=\left( xf\left( x \right) \right)\left| \begin{aligned}
& \dfrac{\pi }{2} \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}.$
Lấy tích phân từ 0 đến $\dfrac{\pi }{2}$ hai vế của $f\left( x \right)+f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)=\sin x.\cos x$ ta được:
$\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( \sin x.\cos x \right)dx}=\dfrac{1}{2}.$
Xét $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)dx}=-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)d\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)}=-\int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{0}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}.$
$\Rightarrow 2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{4}.$
Vậy $I=-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=-\dfrac{1}{4}.$
Đáp án D.