Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình bên. Đặt $g\left( x \right)=2f\left( x \right)+{{x}^{2}}+3$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số $y=g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=1$.
B. Hàm số $y=g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -3;1 \right)$.
C. Hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;3 \right)$.
D. Hàm số $y=g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=3$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)+2x$.
Phương trình ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=-x$ (1).
Ta vẽ đồ thị $y={f}'\left( x \right)$ và đường thẳng $y=-x$ trên cùng một hệ trục tọa độ (như hình vẽ).
Nghiệm của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên.
Xét trên khoảng $\left( -3;3 \right)$ ta có:
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra được hàm số $y=g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=1$.
A. Hàm số $y=g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=1$.
B. Hàm số $y=g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -3;1 \right)$.
C. Hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;3 \right)$.
D. Hàm số $y=g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=3$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)+2x$.
Phương trình ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=-x$ (1).
Ta vẽ đồ thị $y={f}'\left( x \right)$ và đường thẳng $y=-x$ trên cùng một hệ trục tọa độ (như hình vẽ).
Nghiệm của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên.
Xét trên khoảng $\left( -3;3 \right)$ ta có:
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra được hàm số $y=g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x=1$.
Đáp án A.