Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( x \right)+x{f}'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}-4,\forall x\in \mathbb{R}.$ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các được $y=f\left( x \right)$ và $y=\dfrac{1}{4}x{f}'\left( x \right)$ bằng
A. $\dfrac{272}{15}$
B. $\dfrac{112}{15}$
C. $\dfrac{32}{3}$
D. $\dfrac{1088}{15}$
A. $\dfrac{272}{15}$
B. $\dfrac{112}{15}$
C. $\dfrac{32}{3}$
D. $\dfrac{1088}{15}$
$\begin{aligned}
& f\left( x \right)+x{f}'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}-4,\forall x\in \mathbb{R}\left( 1 \right) \\
& \Leftrightarrow {{\left[ x.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=5{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}-4,\forall x\in \mathbb{R} \\
& \Rightarrow x.f\left( x \right)=\int{\left( 5{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}-4 \right)\text{d}}x \\
& \Leftrightarrow x.f\left( x \right)={{x}^{5}}+2{{x}^{3}}-4x+C \\
\end{aligned}$
Cho $x=0$, suy ra $C=0$. Suy ra $x.f\left( x \right)={{x}^{5}}+2{{x}^{3}}-4x$.
Với $x\ne 0$ thì $f\left( x \right)={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-4$. Trong $\left( 1 \right)$, cho $x=0$ suy ra $f\left( 0 \right)=-4$.
$\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-4,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+4x$.
Khi đó $f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}x{f}'\left( x \right)\Leftrightarrow {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-4=\left( {{x}^{3}}+x \right)x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $S=\int\limits_{-2}^{2}{\left| f\left( x \right)-\dfrac{1}{4}x\cdot {f}'\left( x \right) \right|\text{d}x}=\int\limits_{-2}^{2}{\left| {{x}^{2}}-4 \right|\text{d}x}=\dfrac{32}{3}$.
& f\left( x \right)+x{f}'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}-4,\forall x\in \mathbb{R}\left( 1 \right) \\
& \Leftrightarrow {{\left[ x.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=5{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}-4,\forall x\in \mathbb{R} \\
& \Rightarrow x.f\left( x \right)=\int{\left( 5{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}-4 \right)\text{d}}x \\
& \Leftrightarrow x.f\left( x \right)={{x}^{5}}+2{{x}^{3}}-4x+C \\
\end{aligned}$
Cho $x=0$, suy ra $C=0$. Suy ra $x.f\left( x \right)={{x}^{5}}+2{{x}^{3}}-4x$.
Với $x\ne 0$ thì $f\left( x \right)={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-4$. Trong $\left( 1 \right)$, cho $x=0$ suy ra $f\left( 0 \right)=-4$.
$\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-4,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+4x$.
Khi đó $f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}x{f}'\left( x \right)\Leftrightarrow {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-4=\left( {{x}^{3}}+x \right)x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $S=\int\limits_{-2}^{2}{\left| f\left( x \right)-\dfrac{1}{4}x\cdot {f}'\left( x \right) \right|\text{d}x}=\int\limits_{-2}^{2}{\left| {{x}^{2}}-4 \right|\text{d}x}=\dfrac{32}{3}$.
Đáp án C.