Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $2f\left( 2x \right)+f\left( 1-2x \right)=12{{x}^{2}}$. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x=1.$
A. $y=2x+2.$
B. $y=4x-6.$
C. $y=2x-6.$
D. $y=4x-2$.
A. $y=2x+2.$
B. $y=4x-6.$
C. $y=2x-6.$
D. $y=4x-2$.
Từ $2f\left( 2x \right)+f\left( 1-2x \right)=12{{x}^{2}}$ (*), cho $x=0$ và $x=\dfrac{1}{2}$ ta được
$\left\{ \begin{aligned}
& 2f\left( 0 \right)+f\left( 1 \right)=0 \\
& f\left( 0 \right)+2f\left( 1 \right)=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f\left( 1 \right)=2$
Lấy đạo hàm hai vế của (*) ta được $4{f}'\left( 2x \right)-2{f}'\left( 1-2x \right)=24x,$ cho $x=0$ và $x=\dfrac{1}{2}$
Ta được $\left\{ \begin{aligned}
& 4{f}'\left( 0 \right)-2{f}'\left( 1 \right)=0 \\
& 4{f}'\left( 1 \right)-2{f}'\left( 0 \right)=12 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {f}'\left( 1 \right)=4.$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $x=1$ là
$y={f}'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+f\left( 1 \right)\Leftrightarrow y=4\left( x-1 \right)+2\Leftrightarrow y=4x-2.$
$\left\{ \begin{aligned}
& 2f\left( 0 \right)+f\left( 1 \right)=0 \\
& f\left( 0 \right)+2f\left( 1 \right)=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f\left( 1 \right)=2$
Lấy đạo hàm hai vế của (*) ta được $4{f}'\left( 2x \right)-2{f}'\left( 1-2x \right)=24x,$ cho $x=0$ và $x=\dfrac{1}{2}$
Ta được $\left\{ \begin{aligned}
& 4{f}'\left( 0 \right)-2{f}'\left( 1 \right)=0 \\
& 4{f}'\left( 1 \right)-2{f}'\left( 0 \right)=12 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {f}'\left( 1 \right)=4.$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $x=1$ là
$y={f}'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+f\left( 1 \right)\Leftrightarrow y=4\left( x-1 \right)+2\Leftrightarrow y=4x-2.$
Đáp án D.