Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ như hình vẽ bên dưới:
Khi đó tổng $\int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{2}{{f}'\left( 2x-1 \right)dx+\int\limits_{1}^{0}{{f}'\left( 2x+1 \right)}dx}$ bằng
A. $\dfrac{1}{4}.$
B. $-\dfrac{1}{4}.$
C. $\dfrac{3}{4}.$
D. $-\dfrac{3}{4}.$
A. $\dfrac{1}{4}.$
B. $-\dfrac{1}{4}.$
C. $\dfrac{3}{4}.$
D. $-\dfrac{3}{4}.$
Ta có $d\left( 2x-1 \right)=d\left( 2x+1 \right)=2dx.$
Xét tổng $\int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{2}{{f}'\left( 2x-1 \right)dx}+\int\limits_{1}^{0}{{f}'\left( 2x+1 \right)dx.}$ Nhận thấy:
$\int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{2}{{f}'\left( 2x-1 \right)dx+}\int\limits_{1}^{0}{{f}'\left( 2x+1 \right)dx}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{3}{{f}'\left( 2x-1 \right)d\left( 2x-1 \right)}+\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{0}{{f}'\left( 2x+1 \right)d\left( 2x+1 \right)}$
$\Rightarrow \int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{2}{{f}'\left( 2x-1 \right)dx}+\int\limits_{1}^{0}{{f}'\left( 2x+1 \right)dx}=\dfrac{1}{2}\left[ f\left( 2x-1 \right)\left| _{\dfrac{3}{2}}^{\begin{smallmatrix}
2 \\
\end{smallmatrix}} \right.+f\left( 2x+1 \right)\left| _{\begin{smallmatrix}
\\
1
\end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix}
0 \\
\end{smallmatrix}} \right. \right]$
$\Leftrightarrow \int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{2}{{f}'\left( 2x-1 \right)dx}+\int\limits_{1}^{0}{{f}'\left( 2x+1 \right)dx}=\dfrac{1}{2}\left[ f\left( 3 \right)-f\left( 2 \right)+f\left( 1 \right)-f\left( 3 \right) \right]=\dfrac{f\left( 1 \right)-f\left( 2 \right)}{2}$
Dựa vào đồ thị ta thấy $f\left( 1 \right)=1;f\left( 2 \right)=1,5$ nên suy ra
Xét tổng $\int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{2}{{f}'\left( 2x-1 \right)dx}+\int\limits_{1}^{0}{{f}'\left( 2x+1 \right)dx.}$ Nhận thấy:
$\int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{2}{{f}'\left( 2x-1 \right)dx+}\int\limits_{1}^{0}{{f}'\left( 2x+1 \right)dx}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{3}{{f}'\left( 2x-1 \right)d\left( 2x-1 \right)}+\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{0}{{f}'\left( 2x+1 \right)d\left( 2x+1 \right)}$
$\Rightarrow \int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{2}{{f}'\left( 2x-1 \right)dx}+\int\limits_{1}^{0}{{f}'\left( 2x+1 \right)dx}=\dfrac{1}{2}\left[ f\left( 2x-1 \right)\left| _{\dfrac{3}{2}}^{\begin{smallmatrix}
2 \\
\end{smallmatrix}} \right.+f\left( 2x+1 \right)\left| _{\begin{smallmatrix}
\\
1
\end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix}
0 \\
\end{smallmatrix}} \right. \right]$
$\Leftrightarrow \int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{2}{{f}'\left( 2x-1 \right)dx}+\int\limits_{1}^{0}{{f}'\left( 2x+1 \right)dx}=\dfrac{1}{2}\left[ f\left( 3 \right)-f\left( 2 \right)+f\left( 1 \right)-f\left( 3 \right) \right]=\dfrac{f\left( 1 \right)-f\left( 2 \right)}{2}$
Dựa vào đồ thị ta thấy $f\left( 1 \right)=1;f\left( 2 \right)=1,5$ nên suy ra
$\int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{2}{{f}'\left( 2x-1 \right)dx}+\int\limits_{1}^{0}{{f}'\left( 2x+1 \right)dx}=\dfrac{1-1,5}{2}=-\dfrac{1}{4}.$
Vậy $\int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{2}{f'\left( 2x-1 \right)dx}+\int\limits_{1}^{0}{f'\left( 2x+1 \right)dx}=-\dfrac{1}{4}$.Đáp án B.