Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y={f}'\left( {{x}^{2}}+2x \right)$ được mô tả như hình vẽ bên. Hỏi hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)-\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4x$ có giá trị lớn nhất trên $\left[ 1;4 \right]$ tương ứng với giá trị nào sau đây?
A. $g\left( 1 \right)$
B. $g\left( 2 \right)$
C. $g\left( 3 \right)$
D. $g\left( 4 \right)$
Ta có: ${g}'\left( x \right)=(2x-2){f}'({{x}^{2}}-2x)-2{{x}^{2}}+6x-4$
$\Leftrightarrow {g}'(x)=(2x-2)\left[ {f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)-\left( x-2 \right) \right]$
Đặt $x=t+2$ ta suy ra
$\Leftrightarrow {g}'\left( t+2 \right)=\left( 2t+2 \right)\left[ {f}'\left( {{t}^{2}}+2t \right)-t \right]=0$.
Như vậy ngoài nghiệm $t=-1$ ta cần kẻ thêm đường $y=x$ tương giao với đồ thị hàm số $y={f}'\left( {{x}^{2}}+2x \right)$ như hình vẽ bên. Từ đây ta thấy
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=x-2=-1\Leftrightarrow x=1 \\
& t=x-2=0\Leftrightarrow x=2 \\
& t=x-2=1\Leftrightarrow x=3 \\
& t=x-2=2\Leftrightarrow x=4 \\
\end{aligned} \right.$
Và có bảng biến thiên:
Ta quan tâm đến 2 giá trị là $g\left( 2 \right)$ và $g\left( 4 \right)$. Vì ${{S}_{3}}>{{S}_{2}}$ nên
$-\int\limits_{0}^{1}{\left[ {f}'\left( {{t}^{2}}+2t \right)-t \right]dt}<\int\limits_{1}^{2}{\left[ {f}'\left( {{t}^{2}}+2t \right)-t \right]dt}$
Với $t\in \left[ 0;2 \right]$ thì $2t+2>0$ suy ra
$\int\limits_{1}^{0}{\left( 2t+2 \right)\left[ {f}'\left( {{t}^{2}}+2t \right)-t \right]dt}<\int\limits_{1}^{2}{\left( 2t+2 \right)\left[ {f}'\left( {{t}^{2}}+2t \right)-t \right]dt}$
$\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{0}{{g}'\left( t+2 \right)dt}<\int\limits_{1}^{2}{{g}'\left( t+2 \right)dt}\Leftrightarrow g\left( 2 \right)-g\left( 3 \right)<g\left( 4 \right)-g\left( 3 \right)\Leftrightarrow $
A. $g\left( 1 \right)$
B. $g\left( 2 \right)$
C. $g\left( 3 \right)$
D. $g\left( 4 \right)$
Ta có: ${g}'\left( x \right)=(2x-2){f}'({{x}^{2}}-2x)-2{{x}^{2}}+6x-4$
$\Leftrightarrow {g}'(x)=(2x-2)\left[ {f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)-\left( x-2 \right) \right]$
Đặt $x=t+2$ ta suy ra
$\Leftrightarrow {g}'\left( t+2 \right)=\left( 2t+2 \right)\left[ {f}'\left( {{t}^{2}}+2t \right)-t \right]=0$.
Như vậy ngoài nghiệm $t=-1$ ta cần kẻ thêm đường $y=x$ tương giao với đồ thị hàm số $y={f}'\left( {{x}^{2}}+2x \right)$ như hình vẽ bên. Từ đây ta thấy
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=x-2=-1\Leftrightarrow x=1 \\
& t=x-2=0\Leftrightarrow x=2 \\
& t=x-2=1\Leftrightarrow x=3 \\
& t=x-2=2\Leftrightarrow x=4 \\
\end{aligned} \right.$
Và có bảng biến thiên:
$-\int\limits_{0}^{1}{\left[ {f}'\left( {{t}^{2}}+2t \right)-t \right]dt}<\int\limits_{1}^{2}{\left[ {f}'\left( {{t}^{2}}+2t \right)-t \right]dt}$
Với $t\in \left[ 0;2 \right]$ thì $2t+2>0$ suy ra
$\int\limits_{1}^{0}{\left( 2t+2 \right)\left[ {f}'\left( {{t}^{2}}+2t \right)-t \right]dt}<\int\limits_{1}^{2}{\left( 2t+2 \right)\left[ {f}'\left( {{t}^{2}}+2t \right)-t \right]dt}$
$\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{0}{{g}'\left( t+2 \right)dt}<\int\limits_{1}^{2}{{g}'\left( t+2 \right)dt}\Leftrightarrow g\left( 2 \right)-g\left( 3 \right)<g\left( 4 \right)-g\left( 3 \right)\Leftrightarrow $
Đáp án D.