Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên...

Xét hàm số $h\left( x \right)=2{{\left( x+1 \right)}^{6}}-6{{\left( x+1 \right)}^{2}}-3f\left( -{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}-2 \right)$. Khi đó $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$.
Ta có $h\left( x \right)=2{{\left( x+1 \right)}^{6}}-6{{\left( x+1 \right)}^{2}}-3f\left[ -{{\left( x+1 \right)}^{4}}+2{{\left( x+1 \right)}^{2}}-3 \right]$.
Suy ra ${h}'\left( x \right)=12{{\left( x+1 \right)}^{5}}-12\left( x+1 \right)-3\left[ -4{{\left( x+1 \right)}^{3}}+4\left( x+1 \right) \right]{f}'\left[ -{{\left( x+1 \right)}^{4}}+2{{\left( x+1 \right)}^{2}}-3 \right]$.
Hay ${h}'\left( x \right)=12\left( x+1 \right)\left[ {{\left( x+1 \right)}^{4}}-1 \right]+12\left( x+1 \right)\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}-1 \right]{f}'\left[ -{{\left( x+1 \right)}^{4}}+2{{\left( x+1 \right)}^{2}}-3 \right]$.
Hay ${h}'\left( x \right)=12\left( x+1 \right).\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}-1 \right].\left\{ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+1+{f}'\left[ -{{\left( x+1 \right)}^{4}}+2{{\left( x+1 \right)}^{2}}-3 \right] \right\}$.
Hay ${h}'\left( x \right)=12\left( x+1 \right).\left( x+2 \right)x.\left\{ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+1+{f}'\left[ -{{\left( x+1 \right)}^{4}}+2{{\left( x+1 \right)}^{2}}-3 \right] \right\}$.
Ta có $-{{\left( x+1 \right)}^{4}}+2{{\left( x+1 \right)}^{2}}-3=-{{\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}-1 \right]}^{2}}-2\le -2,\ \forall x$.
Từ bảng xét dấu suy ra ${f}'\left[ -{{\left( x+1 \right)}^{4}}+2{{\left( x+1 \right)}^{2}}-3 \right]\ge 0,\ \forall x$.
Do đó, ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+1+{f}'\left[ -{{\left( x+1 \right)}^{4}}+2{{\left( x+1 \right)}^{2}}-3 \right]>0,\ \forall x$.
Vậy ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 12\left( x+1 \right).\left( x+2 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=-2 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.$ và có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên có thể khẳng định hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;0 \right)$.