Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R},$ thỏa mãn các điều kiện $f\left( x \right)>0\forall x\in \mathbb{R},{f}'\left( x \right)+3x\left( x-2 \right)f\left( x \right)\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=5.$ Giá trị của $f\left( 2 \right)$ bằng
A. $5{{e}^{4}}.$
B. $5{{e}^{-12}}.$
C. $5{{e}^{6}}.$
D. $5{{e}^{16}}.$
A. $5{{e}^{4}}.$
B. $5{{e}^{-12}}.$
C. $5{{e}^{6}}.$
D. $5{{e}^{16}}.$
HD: Ta có ${f}'\left( x \right)+3x\left( x-2 \right)f\left( x \right)=0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=6x-3{{x}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow {{\left( \ln f\left( x \right) \right)}^{\prime }}=6x-3{{x}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \ln f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+C\Leftrightarrow f\left( x \right)={{e}^{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+C}}.$
Do $f\left( 0 \right)=5$ nên ${{e}^{C}}=5\Leftrightarrow C=\ln 5.$ Suy ra $f\left( x \right)=5{{e}^{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}}.$ Do đó $f\left( 2 \right)=5{{e}^{4}}.$
$\Leftrightarrow {{\left( \ln f\left( x \right) \right)}^{\prime }}=6x-3{{x}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \ln f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+C\Leftrightarrow f\left( x \right)={{e}^{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+C}}.$
Do $f\left( 0 \right)=5$ nên ${{e}^{C}}=5\Leftrightarrow C=\ln 5.$ Suy ra $f\left( x \right)=5{{e}^{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}}.$ Do đó $f\left( 2 \right)=5{{e}^{4}}.$
Đáp án A.