Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên...

The Knowledge · 16/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm liên tục trên

R

và có đồ thị như hình bên. Đặt

K = \int_{0}^{1} x . f (x) . f^{'} (x) d x

, khi đó K thuộc khoảng nào sau đây?

A.

(- 3; - 2)

B.

(- 2; - \frac{3}{2})

C.

(- \frac{3}{2}; - \frac{2}{3})

D.

(- \frac{2}{3}; 0)

Đặt

{\begin{aligned} u = x \\ d v = f (x) . f^{'} (x) d x \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} d u = d x \\ v = \frac{f^{2} (x)}{2} \end{aligned}

Khi đó

K = \int_{0}^{1} x . f (x) . f^{'} (x) d x = \frac{x f^{2} (x)}{2} | \begin{aligned} ^{1} \\ _{0} \end{aligned} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x

Từ đồ thị, ta thấy:
*

f (x) > 2 - x, \forall x \in [0; 1] \Rightarrow \int_{0}^{1} \frac{f^{2} (x)}{2} d x > \int_{0}^{1} \frac{{(2 - x)}^{2}}{2} d x = \frac{7}{6} \Rightarrow K = \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} \frac{f^{2} (x)}{2} d x < - \frac{2}{3}

*

f (x) < 2, \forall x \in [0; 1] \Rightarrow \int_{0}^{1} \frac{f^{2} (x)}{2} d x > \int_{0}^{1} 2 d x = 2 \Rightarrow K = \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} \frac{f^{2} (x)}{2} d x > - \frac{3}{2}

.

Đáp án C.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên...