Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm liên tục trên

R

và thỏa mãn

f (0) = 3

và

f (x) + f (2 - x) = x^{2} - 2 x + 2, \forall x \in R .

Tích phân

\int_{0}^{2} x f^{'} (x) d x

bằng
A.

- \frac{4}{3}

B.

\frac{2}{3}

C.

\frac{5}{3}

D.

- \frac{10}{3}

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có

\int_{0}^{2} x f^{'} (x) d x = {x f (x) |}_{0}^{2} - \int_{0}^{2} f (x) d x

Từ

f (x) + f (2 - x) = x^{2} - 2 x + 2, \forall x \in R (1)

Thay

x = 0

vào (1) ta được

f (0) + f (2) = 2 \Rightarrow f (2) = 2 - f (0) = 2 - 3 = - 1

Xét

\int_{0}^{2} f (x) d x

Đặt

x = 2 - t \Rightarrow d x = - d t,

đồi cận:

{\begin{aligned} x = 0 \Rightarrow t = 2 \\ x = 2 \Rightarrow t = 0 \end{aligned}

Khi đó

I = - \int_{2}^{0} f (2 - t) d t = \int_{0}^{2} f (2 - t) d t \Rightarrow I = \int_{0}^{2} f (2 - x) d x

I = \int_{2}^{0} f (2 - t) d t = \int_{0}^{2} f (2 - t) d t \Rightarrow I = \int_{0}^{2} f (2 - x) d x

Do đó ta có

\int_{0}^{2} (f (x) + f (2 - x)) d x = \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x + 2) d x

\Leftrightarrow 2 \int_{0}^{2} f (x) d x = \frac{8}{3} \Leftrightarrow \int_{0}^{2} f (x) d x = \frac{4}{3}

Vậy

\int_{0}^{2} x f^{'} (x) d x = {x f (x) |}_{0}^{2} - \int_{0}^{2} f (x) d x = 2 (- 1) - \frac{4}{3} = - \frac{10}{3} .

Đáp án D.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên...