Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên...

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có $\int\limits_{0}^{2}{xf'\left( x \right)dx}=\left. xf\left( x \right) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}$
Từ $f\left( x \right)+f\left( 2-x \right)={{x}^{2}}-2x+2,\forall x\in \mathbb{R}\left( 1 \right)$
Thay $x=0$ vào (1) ta được $f\left( 0 \right)+f\left( 2 \right)=2\Rightarrow f\left( 2 \right)=2-f\left( 0 \right)=2-3=-1$
Xét $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}$
Đặt $x=2-t\Rightarrow dx=-dt,$ đồi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=2 \\
& x=2\Rightarrow t=0 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $I=-\int\limits_{2}^{0}{f\left( 2-t \right)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( 2-t \right)dt}\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( 2-x \right)dx}$
$I=\int\limits_{2}^{0}{f(2-t)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f(2-t)dt}\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{2}{f(2-x)dx}$
Do đó ta có $\int\limits_{0}^{2}{\left( f\left( x \right)+f\left( 2-x \right) \right)}dx=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2\text{x}+2 \right)dx}$
$\Leftrightarrow 2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx=\dfrac{4}{3}$
Vậy $\int\limits_{0}^{2}{xf'\left( x \right)dx}=\left. xf\left( x \right) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=2\left( -1 \right)-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{10}{3}.$