Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=0;f\left( 4 \right)>4$. Biết hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực tiểu của hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{2}} \right)-2x \right|$.
A. $2$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $0$.
A. $2$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $0$.
Đặt $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-2x\Rightarrow {h}'\left( x \right)=2x.{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-2$.
Vì ${{x}^{2}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên từ đồ thị ta thấy ${f}'\left( {{x}^{2}} \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Với $x\le 0$ ta luôn có ${h}'\left( x \right)=2x.{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-2<0$.
Với $x>0$, ta có ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{2}} \right)=\dfrac{1}{x}\begin{matrix}
{} & \left( * \right) \\
\end{matrix}$.
Đặt $t={{x}^{2}}$, phương trình $\left( * \right)$ trở thành ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\sqrt{t}}\left( t>0 \right)$.
Xét sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số $y={f}'\left( t \right)$ và $y=\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ ở hình vẽ dưới đây:
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\sqrt{t}}\Leftrightarrow t={{t}_{0}}\in \left( 0;1 \right)$. Khi đó ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\sqrt{{{t}_{0}}}$.
Mặt khác $h\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)=0$ và $h\left( 2 \right)=f\left( 4 \right)-4>0$ nên ta có bảng biến thiên của hàm $y=h\left( x \right)$.
Từ bảng biến thiên ta có hàm số $y=h\left( x \right)$ có một điểm cực trị và đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt $\Rightarrow $ Hàm số $y=g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$ có ba điểm cực trị trong đó có hai điểm cực tiểu.
Vì ${{x}^{2}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên từ đồ thị ta thấy ${f}'\left( {{x}^{2}} \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Với $x\le 0$ ta luôn có ${h}'\left( x \right)=2x.{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-2<0$.
Với $x>0$, ta có ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{2}} \right)=\dfrac{1}{x}\begin{matrix}
{} & \left( * \right) \\
\end{matrix}$.
Đặt $t={{x}^{2}}$, phương trình $\left( * \right)$ trở thành ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\sqrt{t}}\left( t>0 \right)$.
Xét sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số $y={f}'\left( t \right)$ và $y=\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ ở hình vẽ dưới đây:
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\sqrt{t}}\Leftrightarrow t={{t}_{0}}\in \left( 0;1 \right)$. Khi đó ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\sqrt{{{t}_{0}}}$.
Mặt khác $h\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)=0$ và $h\left( 2 \right)=f\left( 4 \right)-4>0$ nên ta có bảng biến thiên của hàm $y=h\left( x \right)$.
Từ bảng biến thiên ta có hàm số $y=h\left( x \right)$ có một điểm cực trị và đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt $\Rightarrow $ Hàm số $y=g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$ có ba điểm cực trị trong đó có hai điểm cực tiểu.
Đáp án A.