Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ. Bất phương trình $f\left( x \right)>{{x}^{3}}+4x+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m<f\left( 0 \right).$
B. $m\le f\left( 0 \right).$
C. $m<f\left( 2 \right)-16.$
D. $m\le f\left( 2 \right)-16.$
A. $m<f\left( 0 \right).$
B. $m\le f\left( 0 \right).$
C. $m<f\left( 2 \right)-16.$
D. $m\le f\left( 2 \right)-16.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{x}^{3}}-4x,x\in \left( 0;2 \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-3{{x}^{2}}-4$.
Từ hình vẽ, ta thấy với mọi $x\in \left( 0;2 \right)$ thì $0<f'\left( x \right)<4\Rightarrow f'\left( x \right)-4<0$
$\Rightarrow g'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( 0;2 \right)\Rightarrow g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;2 \right)$.
Khi đó $m<g\left( x \right),\forall x\in \left( 0;2 \right)\Leftrightarrow m\le g\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 2 \right)-16$.
Từ hình vẽ, ta thấy với mọi $x\in \left( 0;2 \right)$ thì $0<f'\left( x \right)<4\Rightarrow f'\left( x \right)-4<0$
$\Rightarrow g'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( 0;2 \right)\Rightarrow g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;2 \right)$.
Khi đó $m<g\left( x \right),\forall x\in \left( 0;2 \right)\Leftrightarrow m\le g\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 2 \right)-16$.
Đáp án D.