Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên...

The Professor · 19/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm liên tục trên

R

. Biết

y = f^{'} (x)

Có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu số tự nhiên

n

sao cho

\ln (f (x) + \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + m) > n

có nghiệm với

x \in (- 1; 3)

và

m \in [0; 13]

A.

3

.
B.

2

.
C.

5

.
D.

7

.

ĐK

\ln (f (x) + \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + m) > n

xáC định trên

R

\Leftrightarrow g (x) = f (x) + \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + m > 0

,

\forall x \in (- 1; 3)

\Rightarrow g^{'} (x) = f^{'} (x) + x^{2} - 6 x + 9 \Rightarrow g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = - x^{2} + 6 x - 9

Vẽ hai đồ thị

y = f^{'} (x)

và

y = - x^{2} + 6 x - 9

trên Cùng hệ trụC

Suy ra

g^{'} (x) \geq 0

,

\forall x \in (- 1; 3)

\Rightarrow g (x) > g (- 1) = - \frac{37}{3} + m \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{37}{3}

Xét hàm số

y = \ln (f (x) + \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + m) \Rightarrow y^{'} = \frac{f^{'} (x) + x^{2} - 6 x + 9}{f (x) + \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + m} \geq 0

Suy ra

y = \ln (f (x) + \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + m)

đồng biến

(- 1; 3)

Để bpt có nghiệm trên

(- 1; 3)

thì

y (- 1) \leq n < y (3)

\Leftrightarrow \ln (m - \frac{37}{3}) \leq n < \ln (m + 9)

\Leftrightarrow m - \frac{37}{3} \leq e^{n} < m + 9

.
Do

m \in [\frac{37}{3}; 13]

nên

n = 0; 1; 2

.

Đáp án A.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên...