Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên...

ĐK $\ln \left( f\left( x \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x+m \right)>n$ xáC định trên $\mathbb{R}$
$\Leftrightarrow g\left( x \right)=f\left( x \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x+m>0$, $\forall x\in \left( -1;3 \right)$
$\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( x \right)+{{x}^{2}}-6x+9\Rightarrow g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=-{{x}^{2}}+6x-9$
Vẽ hai đồ thị $y=f'\left( x \right)$ và $y=-{{x}^{2}}+6x-9$ trên Cùng hệ trụC

Suy ra $g'\left( x \right)\ge 0$, $\forall x\in \left( -1;3 \right)$ $\Rightarrow g\left( x \right)>g\left( -1 \right)=-\dfrac{37}{3}+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge \dfrac{37}{3}$
Xét hàm số $y=\ln \left( f\left( x \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x+m \right)\Rightarrow y'=\dfrac{f'\left( x \right)+{{x}^{2}}-6x+9}{f\left( x \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x+m}\ge 0$
Suy ra $y=\ln \left( f\left( x \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x+m \right)$ đồng biến $\left( -1;3 \right)$
Để bpt có nghiệm trên $\left( -1;3 \right)$ thì $y\left( -1 \right)\le n<y\left( 3 \right)$ $\Leftrightarrow \ln \left( m-\dfrac{37}{3} \right)\le n<\ln \left( m+9 \right)$
$\Leftrightarrow m-\dfrac{37}{3}\le {{e}^{n}}<m+9$.
Do $m\in \left[ \dfrac{37}{3};13 \right]$ nên $n=0;1;2$.