Google
Câu hỏi: . Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm, liên tục trên $\mathbb{R}$, gọi ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y={{x}^{2}}f\left( 2x-1 \right)$ tại điểm có hoành độ bằng 1. Biết rằng hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ vuông góc nhau, khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\sqrt{2}<\left| f\left( 2 \right) \right|<2.$
B. $\left| f\left( 2 \right) \right|\le \sqrt{3}.$
C. $\left| f\left( 1 \right) \right|\ge \sqrt{2}.$
D. $2\le \left| f\left( 2 \right) \right|<2\sqrt{3}.$
A. $\sqrt{2}<\left| f\left( 2 \right) \right|<2.$
B. $\left| f\left( 2 \right) \right|\le \sqrt{3}.$
C. $\left| f\left( 1 \right) \right|\ge \sqrt{2}.$
D. $2\le \left| f\left( 2 \right) \right|<2\sqrt{3}.$
Ta có: $y={{x}^{2}}f\left( 2\text{x}-1 \right)\Rightarrow {y}'=2\text{x}f\left( 2\text{x}-1 \right)+2{f}'\left( 2\text{x}-1 \right){{x}^{2}}$
Thay $x=1\Rightarrow {{k}_{2}}=2f\left( 1 \right)+2{f}'\left( 1 \right)$, mặt khác ${{k}_{1}}={f}'\left( 1 \right)$
Do ${{d}_{1}}\bot {{\text{d}}_{2}}$ nên ${{k}_{1}}.{{k}_{2}}=-1\Leftrightarrow 2f\left( 1 \right).{f}'\left( 1 \right)+2{{{f}'}^{2}}\left( 1 \right)=-1$
$\Leftrightarrow {{{f}'}^{2}}\left( 1 \right)+f\left( 1 \right).{f}'\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{2}$
Suy ra ${{{f}'}^{2}}\left( 1 \right)+f\left( 1 \right).{f}'\left( 1 \right)+\dfrac{{{f}^{2}}\left( 1 \right)}{4}=\dfrac{{{f}^{2}}\left( 1 \right)}{4}-\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow {{\left[ {f}'\left( 1 \right)+\dfrac{f\left( 1 \right)}{2} \right]}^{2}}=\dfrac{{{f}^{2}}\left( 1 \right)}{4}-\dfrac{1}{2}\ge 0\Rightarrow {{f}^{2}}\left( 1 \right)\ge 2$
$\Leftrightarrow \left| f\left( 1 \right) \right|\ge \sqrt{2}$.
Thay $x=1\Rightarrow {{k}_{2}}=2f\left( 1 \right)+2{f}'\left( 1 \right)$, mặt khác ${{k}_{1}}={f}'\left( 1 \right)$
Do ${{d}_{1}}\bot {{\text{d}}_{2}}$ nên ${{k}_{1}}.{{k}_{2}}=-1\Leftrightarrow 2f\left( 1 \right).{f}'\left( 1 \right)+2{{{f}'}^{2}}\left( 1 \right)=-1$
$\Leftrightarrow {{{f}'}^{2}}\left( 1 \right)+f\left( 1 \right).{f}'\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{2}$
Suy ra ${{{f}'}^{2}}\left( 1 \right)+f\left( 1 \right).{f}'\left( 1 \right)+\dfrac{{{f}^{2}}\left( 1 \right)}{4}=\dfrac{{{f}^{2}}\left( 1 \right)}{4}-\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow {{\left[ {f}'\left( 1 \right)+\dfrac{f\left( 1 \right)}{2} \right]}^{2}}=\dfrac{{{f}^{2}}\left( 1 \right)}{4}-\dfrac{1}{2}\ge 0\Rightarrow {{f}^{2}}\left( 1 \right)\ge 2$
$\Leftrightarrow \left| f\left( 1 \right) \right|\ge \sqrt{2}$.
Đáp án C.