Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số $y=f'\left( x \right)$ như hình vẽ.
Đặt $g\left( x \right)=2f\left( x+\dfrac{m}{2} \right)-{{x}^{2}}-mx+{{m}^{2}}-3$ với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -15;15 \right]$ để hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 3;4 \right)$. Số phần tử của tập hợp S là:
A. 7.
B. 6.
C. 5.
D. 4.
Đặt $g\left( x \right)=2f\left( x+\dfrac{m}{2} \right)-{{x}^{2}}-mx+{{m}^{2}}-3$ với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -15;15 \right]$ để hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 3;4 \right)$. Số phần tử của tập hợp S là:
A. 7.
B. 6.
C. 5.
D. 4.
Ta có $g'\left( x \right)=2f'\left( x+\dfrac{m}{2} \right)-2x-m=2\left[ f'\left( x+\dfrac{m}{2} \right)-\left( x+\dfrac{m}{2} \right) \right]$.
Đặt $t=x+\dfrac{m}{2}$ thì $g'\left( t \right)<0\Leftrightarrow f'\left( t \right)<t\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t<-3 \\
& 2<t<5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+\dfrac{m}{2}<-3 \\
& 2<x+\dfrac{m}{2}<5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x<-3-\dfrac{m}{2} \\
& 2-\dfrac{m}{2}<x<5-\dfrac{m}{2} \\
\end{aligned} \right..$
Giả thiết bài toán thỏa mãn khi $\left[ \begin{aligned}
& -3-\dfrac{m}{2}\ge 4 \\
& 2-\dfrac{m}{2}\le 3<4\le 5-\dfrac{m}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -14 \\
& -2\le m\le 12 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp điều kiện $m\in \mathbb{Z},m\in \left[ -15;15 \right]$ suy ra $m=\left\{ -14;-15;-2;-1;0;1;2 \right\}$
Đặt $t=x+\dfrac{m}{2}$ thì $g'\left( t \right)<0\Leftrightarrow f'\left( t \right)<t\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t<-3 \\
& 2<t<5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+\dfrac{m}{2}<-3 \\
& 2<x+\dfrac{m}{2}<5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x<-3-\dfrac{m}{2} \\
& 2-\dfrac{m}{2}<x<5-\dfrac{m}{2} \\
\end{aligned} \right..$
Giả thiết bài toán thỏa mãn khi $\left[ \begin{aligned}
& -3-\dfrac{m}{2}\ge 4 \\
& 2-\dfrac{m}{2}\le 3<4\le 5-\dfrac{m}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -14 \\
& -2\le m\le 12 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp điều kiện $m\in \mathbb{Z},m\in \left[ -15;15 \right]$ suy ra $m=\left\{ -14;-15;-2;-1;0;1;2 \right\}$
Đáp án A.