Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ. Bất phương trình $f\left( x \right)<x+m$ đúng với mọi $x\in \left( 0;1 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge f\left( 0 \right).$
B. $m\ge f\left( 1 \right)-1.$
C. $m>f\left( 0 \right).$
D. $m>f\left( 1 \right)-1.$
A. $m\ge f\left( 0 \right).$
B. $m\ge f\left( 1 \right)-1.$
C. $m>f\left( 0 \right).$
D. $m>f\left( 1 \right)-1.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-x,x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-1.$
Từ hình vẽ, ta thấy với mọi $x\in \left( 0;1 \right)$ thì $0<{f}'\left( x \right)<1\Rightarrow {f}'\left( x \right)-1<0$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;1 \right)\Rightarrow g\left( x \right)<g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right).$
Khi đó $m>g\left( x \right)$ có nghiệm với mọi $x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( 0 \right)$.
Từ hình vẽ, ta thấy với mọi $x\in \left( 0;1 \right)$ thì $0<{f}'\left( x \right)<1\Rightarrow {f}'\left( x \right)-1<0$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;1 \right)\Rightarrow g\left( x \right)<g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right).$
Khi đó $m>g\left( x \right)$ có nghiệm với mọi $x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( 0 \right)$.
Đáp án A.